Гармонический анализ. Козлов В.И - 2 стр.

                                                                            3
                                                      Лабораторная работа 29

                                                    ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

                                                                  Введение.

       Известно, что всякую периодическую функцию, удовлетворяющую определённым
условиям (условия Дирихле), можно разложить в ряд по гармоническим функциям
аргумента с частотами, кратными основной частоте (ряд Фурье). В данной лабораторной
работе встречаются такие функции, для которых подобное разложение выполнимо.
       Ряд Фурье имеет вид

                       a0
                f (t) =   + a 1cos ωt + a 2cos 2ωt +  + a n cos nωt +  +
                       2
                + b1sin ωt + b 2sin 2ωt +  + b n sin nωt + ...

                2π
где    ω=                 – угловая частота, а          Τ
                                                              – период изменения функции                        f(t)
                                                                                                                       . Коэффициенты
                Τ
этого ряда вычисляются по формулам:

            T                                                                         T
       2
            ∫
                                                                                  2
ak =
       T
                f ( t ) cos kω t dt      ,                                 bk =
                                                                                  T   ∫ f ( t ) sin kω t dt .
                                                                                      0
            0



(формулы Эйлера).
      Ряд Фурье может быть преобразован к следующему виду:

            a0
 f (t ) =
            2
               + A1 sin(ω t + ϕ 1 ) + A 2 sin( 2 ω t + ϕ 2 ) + ... + A n sin(nω t + ϕ n ) + ...                    ,
                                                                      ak
где          Ak =     a 2k + b 2k               и           tgϕ k =          .
                                                                      bk

Члены разложения этого ряда принято называть гармоническими составляющими или
гармониками функции      . При этом величина A = a + b будет амплитудой
                                       f (t )
                                                                         k-ой             k
                                                                                                 2
                                                                                                 k
                                                                                                      2
                                                                                                      k



                                             ak
гармоники, а                  ϕ k = arctg(      )     – её начальной фазой. Определение амплитуд и фаз
                                             bk

гармоник данной периодической функции называется её гармоническим анализом.
Совокупность же амплитуд и фаз гармоник принято называть спектром данной функции.
Иными словами, гармонический анализ некоторой функции состоит в нахождении её
гармонического спектра.
       В настоящей лабораторной работе будут исследоваться напряжения, периодически
изменяющиеся со временем.
       Исходя из изложенного выше, мы можем рассматривать всякий периодический ток
как сумму синусоидальных переменных токов, а всякое периодическое напряжение как
сумму синусоидальных напряжение с кратными частотами. Амплитуды и фазы гармоник
этих токов и напряжений определяются по формулам нахождения амплитуд и фаз членов
разложения соответствующих рядов Фурье.



            Найдём ряды Фурье для некоторых периодических напряжений.