Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

90 §19. Кольцо целых чисел
1) f называется мономорфизмом, если ker f = 0;
2) f называется эпиморфизмом, если im f = R
′
;
3) f называется изоморфизмом, если f одновременно и эпиморфиз м , и
мономорфизм.
Пример 21. Сопоставим каждому действительному чис лу r ∈ R скаляр-
ную матрицу r ·E, где E — единичная матрица раз м ера n×n. Это определяет
мономорфизм R → Mat(n, n).
Пример 22. Зафиксируем точку x
0
∈ R и с о поставим каждой непрерыв-
ной функции f ∈ C(R) её значение в т о чке x
0
. Это — э пиморфизм C(R) → R.
Его ядро состоит из функций, обращающихся в нуль в точке x
0
.
Пример 23. Рассмотрим n-мерное векторное пространство V и некото-
рый его баз ис e
1
, . . . , e
n
∈ V . Сопоставим каждому линейному операто-
ру A: V → V ег о матрицу в это м базисе. Это сопоставление определяе т
изоморфизм колец Lin(V, V ) → Mat( n, n). За м етим, что этот изоморфизм
зависит от выбора базиса!
Предложение 1. Пусть f : R → R
′
— гомоморфизм ко лец. Тогда:
1) если a
′
, b
′
∈ im f, то a
′
+ b
′
∈ im f и a
′
b
′
∈ im f;
2) если a, b ∈ ker f, то a + b ∈ ker f, а также ac ∈ ker f и ca ∈ ker f для
любого c ∈ R.
Определение 12. Подмножество S ⊂ R называется подкольцом, если
оно обладает свойствами, описанными в п. 1 предложения 1. Оно называется
идеалом, если обладает свойствами, описанными в п. 2 этого предложения.
Пример 24. Множество скалярных матриц является подкольцом кольца
диагональных матриц, а диагональные матрицы, в свою очередь, образуют
подкольцо кольца верхних треугольных матриц
4
.
Пример 25. Множество 2Z ⊂ Z чётных целых чисел является идеалом
кольца целых чисел.
Пример 26. Множество µ(x
0
) ⊂ C(R), состоящее из функций, обращаю-
щихся в нуль в точке x
0
∈ R, является идеалом кольца непрерывных функций.
§19. Кольцо целых чисел
Главное свойство целых чисел — это свойство делимости.
4
Квадратная матрица (a
ij
) называется верхней треугольной, если a
ij
= 0 при i > j.
90                                                          §19. Кольцо целых чисел

      1) f называется мономорфизмом, если ker f = 0;
      2) f называется эпиморфизмом, если im f = R′ ;
      3) f называется изоморфизмом, если f одновременно и эпиморфизм, и
         мономорфизм.
  Пример 21. Сопоставим каждому действительному числу r ∈ R скаляр-
ную матрицу r ·E, где E — единичная матрица размера n×n. Это определяет
мономорфизм R → Mat(n, n).
  Пример 22. Зафиксируем точку x0 ∈ R и сопоставим каждой непрерыв-
ной функции f ∈ C(R) её значение в точке x0. Это — эпиморфизм C(R) → R.
Его ядро состоит из функций, обращающихся в нуль в точке x0 .
   Пример 23. Рассмотрим n-мерное векторное пространство V и некото-
рый его базис e1 , . . . , en ∈ V . Сопоставим каждому линейному операто-
ру A : V → V его матрицу в этом базисе. Это сопоставление определяет
изоморфизм колец Lin(V, V ) → Mat(n, n). Заметим, что этот изоморфизм
зависит от выбора базиса!
     Предложение 1. Пусть f : R → R′ — гомоморфизм колец. Тогда:
      1) если a′ , b′ ∈ im f , то a′ + b′ ∈ im f и a′ b′ ∈ im f ;
      2) если a, b ∈ ker f , то a + b ∈ ker f , а также ac ∈ ker f и ca ∈ ker f для
         любого c ∈ R.
   Определение 12. Подмножество S ⊂ R называется подкольцом, если
оно обладает свойствами, описанными в п. 1 предложения 1. Оно называется
идеалом, если обладает свойствами, описанными в п. 2 этого предложения.
   Пример 24. Множество скалярных матриц является подкольцом кольца
диагональных матриц, а диагональные матрицы, в свою очередь, образуют
подкольцо кольца верхних треугольных матриц 4.
   Пример 25. Множество 2Z ⊂ Z чётных целых чисел является идеалом
кольца целых чисел.
  Пример 26. Множество µ(x0) ⊂ C(R), состоящее из функций, обращаю-
щихся в нуль в точке x0 ∈ R, является идеалом кольца непрерывных функций.


§19. Кольцо целых чисел
     Главное свойство целых чисел — это свойство делимости.
     4Квадратная матрица (a ) называется верхней треугольной, если a = 0 при i > j.
                           ij                                       ij

Страницы