Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

88 §18. Основные определения и примеры
3) существует такой эле м ент 0 ∈ R, что 0+a = a+0 = a для любого a ∈ R
(существование нуля);
4) для любого a ∈ R существует такой элемент −a ∈ R, что (−a) + a =
= a + (−a) = 0 (существование противоположного элемента);
5) для любых элементов a, b и c ∈ R выполняются равенства a(b+c) = ab+
+ ac, (a + b)c = ac + bc (дистрибутивность умножения относительно
сложения).
Замечание. Из определения 3 следует, что всякое кольцо является ком-
мутативной (абелевой) группой относительно сложения.
Определение 4. Кольцо R называется кольцом с единицей, если суще-
ствует та кой элемент 1 ∈ R (единица кольца), что 1 ·a = a ·1 для все х a ∈ R.
Определение 5. Кольцо R называется ассоциативным, если a(bc) =
= (ab)c для любых э лементов a, b и c ∈ R (то есть если определённое в
нём умножение ассоциативно).
Определение 6. Кольцо R называется коммутативным, если ab = ba
для любых элементов a и b ∈ R (то есть если определённое в нём умножение
коммутативно).
Определение 7. Коммутативное и ас социативное кольцо R с единицей
называется полем , ес ли каждый ненулевой элемент a ∈ R обладает обратным,
то есть существует такой элемент a
−1
, что a
−1
a = aa
−1
= 1.
Замечание. Для всякого поля R множество R \ {0} е го ненулевых эле-
ментов является коммутативной группой относительно умножения.
Рассмотрим примеры колец и полей.
Пример 10. Множество Z целых чисел является кольцом относительно
обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассо-
циативно и обладает единицей.
Пример 11. Подмножество 2Z ⊂ Z, состоящее из всех чётных целых чи-
сел, то есть чисел в ида 2k, k ∈ Z, также является коммутативным и ассоци-
ативным кольцом, но в этом кольце нет единицы.
Пример 12. Множество нечётных чисел не образует кольца, поскольку
оно не замкнуто относительно сложения — сумма двух нечётных чисел чёт на.
Пример 13. Множество N ⊂ Z натуральных чисел также не является
кольцом, поскольку число, противоположное натуральному, уже не является
натуральным числом.
Пример 1 4 . Множество Mat(n, n) квадратных матриц размера n ×n яв-
ляется ассоциативным кольцом с единицей относительно сложения и компо-
зиции матриц. Однако это кольцо не коммутативно.
88                                   §18. Основные определения и примеры

    3) существует такой элемент 0 ∈ R, что 0+a = a+0 = a для любого a ∈ R
       (существование нуля);
    4) для любого a ∈ R существует такой элемент −a ∈ R, что (−a) + a =
       = a + (−a) = 0 (существование противоположного элемента);
    5) для любых элементов a, b и c ∈ R выполняются равенства a(b+c) = ab+
       + ac, (a + b)c = ac + bc (дистрибутивность умножения относительно
       сложения).
   Замечание. Из определения 3 следует, что всякое кольцо является ком-
мутативной (абелевой) группой относительно сложения.
   Определение 4. Кольцо R называется кольцом с единицей, если суще-
ствует такой элемент 1 ∈ R (единица кольца), что 1 · a = a · 1 для всех a ∈ R.
   Определение 5. Кольцо R называется ассоциативным, если a(bc) =
= (ab)c для любых элементов a, b и c ∈ R (то есть если определённое в
нём умножение ассоциативно).
   Определение 6. Кольцо R называется коммутативным, если ab = ba
для любых элементов a и b ∈ R (то есть если определённое в нём умножение
коммутативно).
   Определение 7. Коммутативное и ассоциативное кольцо R с единицей
называется полем, если каждый ненулевой элемент a ∈ R обладает обратным,
то есть существует такой элемент a−1, что a−1a = aa−1 = 1.
   Замечание. Для всякого поля R множество R \ {0} его ненулевых эле-
ментов является коммутативной группой относительно умножения.
   Рассмотрим примеры колец и полей.
   Пример 10. Множество Z целых чисел является кольцом относительно
обычных операций сложения и умножения. Это кольцо коммутативно, ассо-
циативно и обладает единицей.
   Пример 11. Подмножество 2Z ⊂ Z, состоящее из всех чётных целых чи-
сел, то есть чисел вида 2k, k ∈ Z, также является коммутативным и ассоци-
ативным кольцом, но в этом кольце нет единицы.
   Пример 12. Множество нечётных чисел не образует кольца, поскольку
оно не замкнуто относительно сложения — сумма двух нечётных чисел чётна.
   Пример 13. Множество N ⊂ Z натуральных чисел также не является
кольцом, поскольку число, противоположное натуральному, уже не является
натуральным числом.
   Пример 14. Множество Mat(n, n) квадратных матриц размера n × n яв-
ляется ассоциативным кольцом с единицей относительно сложения и компо-
зиции матриц. Однако это кольцо не коммутативно.

Страницы