Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§18. Основные определения и примеры 87
Пример 8. Рассмотрим в группе GL(2) матрицы A
12
= (
1 0
0 1
) и A
21
= (
0 1
1 0
).
Они образуют подгруппу, изоморфную группе Σ
2
. Аналогичным образом,
в GL(3) можно рассмотре т ь матрицы
A
123
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, A
132
=
1 0 0
0 0 1
0 1 0
, A
213
=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
,
A
231
=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
, A
312
=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
, A
321
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
.
Они образуют подгруппу, изоморфную Σ
3
.
Вообще, если в GL(n) рассмотреть все матрицы, в каждой строке и каждом
столбце которых будет стоять ровно по одной единице, а остальные э лементы
будут нулевыми, то множество этих матриц (их будет ровно n!) б уде т являть-
ся подгруппой, изоморфной Σ
n
. Матрицы этого вида, определитель которых
равен единице (таких матриц
n!
2
), также образует группу, называем ую группой
чётных подстановок и обозначаемую через Σ
+
n
. Например, группа Σ
+
3
состо-
ит из матриц A
123
, A
231
и A
312
(или, что то же самое, из подстаново к σ
123
, σ
231
и σ
312
).
Рассмотрим последний пример группы.
Пример 9. Пусть SO(2) — множество поворотов плоскости вокруг неко-
торой выбранной т о чки. Композиция двух поворотов является поворотом и,
поскольку поворот — отображение плоскости в с ебя, композиция является ас-
социативной. Поворот на 0 градусов выполняет роль единичного элемента.
Таким образом, SO(2) — группа.
Сопоставим повороту на угол ϕ матрицу A
ϕ
=
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
. Очевид-
но, A
ϕ
◦ A
ψ
= A
ϕ+ψ
. Это означает, что композиции поворотов соответствует
композиция матриц, т.е. мы построили гомоморфизм группы SO(2) в груп-
пу GL(2). Этот гомоморфизм является мономорф измом.
Изучим теперь абстрактные алгебраические объекты, снабжённые двумя
операциями.
Определение 3. Множество R, наделённое операциями сложения «+»
и умножения «·», называется кольцом, если эти операции обладают следую-
щими свойствами:
1) для любых элеме нтов a и b ∈ R имеет место равенство a + b = b + a
(сложение коммутативно);
2) если c ∈ R, то (a + b) + c = a + (b + c) (сложение ассоциативно);
§18. Основные определения и примеры                                           87

   Пример 8. Рассмотрим в группе GL(2) матрицы A12 = ( 10 01 ) и A21 = ( 01 10 ).
Они образуют подгруппу, изоморфную группе Σ2. Аналогичным образом,
в GL(3) можно рассмотреть матрицы
                                                            
               1 0 0              1 0 0                0 1 0
       A123 = 0 1 0 , A132 = 0 0 1 , A213 = 1 0 0 ,
               0 0 1              0 1 0                0 0 1
                                                            
               0 0 1              0 1 0                0 0 1
       A231 = 1 0 0 , A312 = 0 0 1 , A321 = 0 1 0 .
               0 1 0              1 0 0                1 0 0
Они образуют подгруппу, изоморфную Σ3.
   Вообще, если в GL(n) рассмотреть все матрицы, в каждой строке и каждом
столбце которых будет стоять ровно по одной единице, а остальные элементы
будут нулевыми, то множество этих матриц (их будет ровно n!) будет являть-
ся подгруппой, изоморфной Σn . Матрицы этого вида, определитель которых
равен единице (таких матриц n!2 ), также образует группу, называемую группой
                                                                      +
чётных подстановок и обозначаемую через Σ+     n . Например, группа Σ3 состо-
ит из матриц A123, A231 и A312 (или, что то же самое, из подстановок σ123, σ231
и σ312).
  Рассмотрим последний пример группы.
   Пример 9. Пусть SO(2) — множество поворотов плоскости вокруг неко-
торой выбранной точки. Композиция двух поворотов является поворотом и,
поскольку поворот — отображение плоскости в себя, композиция является ас-
социативной. Поворот на 0 градусов выполняет роль единичного элемента.
Таким образом, SO(2) — группа.                                      
   Сопоставим повороту на угол ϕ матрицу Aϕ = cos         ϕ − sin ϕ
                                                      sin ϕ cos ϕ . Очевид-
но, Aϕ ◦ Aψ = Aϕ+ψ . Это означает, что композиции поворотов соответствует
композиция матриц, т.е. мы построили гомоморфизм группы SO(2) в груп-
пу GL(2). Этот гомоморфизм является мономорфизмом.
   Изучим теперь абстрактные алгебраические объекты, снабжённые двумя
операциями.
   Определение 3. Множество R, наделённое операциями сложения «+»
и умножения «·», называется кольцом, если эти операции обладают следую-
щими свойствами:
   1) для любых элементов a и b ∈ R имеет место равенство a + b = b + a
      (сложение коммутативно);
   2) если c ∈ R, то (a + b) + c = a + (b + c) (сложение ассоциативно);

Страницы