ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§18. Основные определения и примеры 89
Пример 15. То же самое множество можно наделить другим умножением,
взяв в качестве такового ком мутатор матриц. Это тоже будет кольцом, но
ни ассоциативным, ни коммутативным и без единицы.
Пример 16. Если V — векторное пространство размерности n, то мож-
но рассмотреть множество Lin(V, V ) линейных операторов, действующих в
этом пространстве. Оно является ассоциативным кольцом с единицей отно-
сительно сложения и композиции операторов. Аналогично примеру 15 в этом
множестве можно ввести другое умножение, рассмотрев коммутатор линей-
ных операторов.
Пример 17. Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел
являются полями относительно обычных операций сложения и умножения
чисел.
Пример 18. Множество C(R), состоящее из функций, непрерывных на
прямо й, является кольцом, если сложение и умножение определить следу-
ющим образом:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), ( f · g)(x) = f(x)g(x), f, g ∈ C
′
(R), x ∈ R. (1)
Определение 8. Элементы a и b кольца R называются делителями нуля,
если
1) сами они отличны от нуля, a 6= 0, b 6= 0;
2) их произведение равно нулю, ab = 0.
Пример 19. Функции f(x) = |x|+ x, g(x) = |x|−x являются делителями
нуля в кольце непрерывных функций на прямой.
Пример 20. Матрицы (
1 0
0 0
) и (
0 0
0 1
) являются делителями нуля в коль-
це Mat(2, 2).
Определение 9. Пусть R и R
′
— кольца. О т о б ражение f : R → R
′
назы-
вается гомоморфизм ом ко лец, если
f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b)
для любых элементов a, b ∈ R.
Определение 10. Пусть f : R → R
′
— гомоморфизм колец. Множество
ker f = {a ∈ R | f(a) = 0 }
называется ядром гомоморфизма f. Множество
im f = {a
′
∈ R
′
| a
′
= f (a), a ∈ R }
называется образом гомо м о рфизма f .
Определение 11. Пусть f : R → R
′
гомоморфизм колец. Тогда:
§18. Основные определения и примеры 89 Пример 15. То же самое множество можно наделить другим умножением, взяв в качестве такового коммутатор матриц. Это тоже будет кольцом, но ни ассоциативным, ни коммутативным и без единицы. Пример 16. Если V — векторное пространство размерности n, то мож- но рассмотреть множество Lin(V, V ) линейных операторов, действующих в этом пространстве. Оно является ассоциативным кольцом с единицей отно- сительно сложения и композиции операторов. Аналогично примеру 15 в этом множестве можно ввести другое умножение, рассмотрев коммутатор линей- ных операторов. Пример 17. Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями относительно обычных операций сложения и умножения чисел. Пример 18. Множество C(R), состоящее из функций, непрерывных на прямой, является кольцом, если сложение и умножение определить следу- ющим образом: (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x)g(x), f, g ∈ C ′ (R), x ∈ R. (1) Определение 8. Элементы a и b кольца R называются делителями нуля, если 1) сами они отличны от нуля, a 6= 0, b 6= 0; 2) их произведение равно нулю, ab = 0. Пример 19. Функции f (x) = |x| + x, g(x) = |x| − x являются делителями нуля в кольце непрерывных функций на прямой. Пример 20. Матрицы ( 10 00 ) и ( 00 01 ) являются делителями нуля в коль- це Mat(2, 2). Определение 9. Пусть R и R′ — кольца. Отображение f : R → R′ назы- вается гомоморфизмом колец, если f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b) для любых элементов a, b ∈ R. Определение 10. Пусть f : R → R′ — гомоморфизм колец. Множество ker f = { a ∈ R | f (a) = 0 } называется ядром гомоморфизма f . Множество im f = { a′ ∈ R′ | a′ = f (a), a ∈ R } называется образом гомоморфизма f . Определение 11. Пусть f : R → R′ гомоморфизм колец. Тогда:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »