Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 90 стр.

UptoLike

§18. Основные определения и примеры 89
Пример 15. То же самое множество можно наделить другим умножением,
взяв в качестве такового ком мутатор матриц. Это тоже будет кольцом, но
ни ассоциативным, ни коммутативным и без единицы.
Пример 16. Если V векторное пространство размерности n, то мож-
но рассмотреть множество Lin(V, V ) линейных операторов, действующих в
этом пространстве. Оно является ассоциативным кольцом с единицей отно-
сительно сложения и композиции операторов. Аналогично примеру 15 в этом
множестве можно ввести другое умножение, рассмотрев коммутатор линей-
ных операторов.
Пример 17. Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел
являются полями относительно обычных операций сложения и умножения
чисел.
Пример 18. Множество C(R), состоящее из функций, непрерывных на
прямо й, является кольцом, если сложение и умножение определить следу-
ющим образом:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), ( f · g)(x) = f(x)g(x), f, g C
(R), x R. (1)
Определение 8. Элементы a и b кольца R называются делителями нуля,
если
1) сами они отличны от нуля, a 6= 0, b 6= 0;
2) их произведение равно нулю, ab = 0.
Пример 19. Функции f(x) = |x|+ x, g(x) = |x|x являются делителями
нуля в кольце непрерывных функций на прямой.
Пример 20. Матрицы (
1 0
0 0
) и (
0 0
0 1
) являются делителями нуля в коль-
це Mat(2, 2).
Определение 9. Пусть R и R
кольца. О т о б ражение f : R R
назы-
вается гомоморфизм ом ко лец, если
f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b)
для любых элементов a, b R.
Определение 10. Пусть f : R R
гомоморфизм колец. Множество
ker f = {a R | f(a) = 0 }
называется ядром гомоморфизма f. Множество
im f = {a
R
| a
= f (a), a R }
называется образом гомо м о рфизма f .
Определение 11. Пусть f : R R
гомоморфизм колец. Тогда:
§18. Основные определения и примеры                                                89

   Пример 15. То же самое множество можно наделить другим умножением,
взяв в качестве такового коммутатор матриц. Это тоже будет кольцом, но
ни ассоциативным, ни коммутативным и без единицы.
   Пример 16. Если V — векторное пространство размерности n, то мож-
но рассмотреть множество Lin(V, V ) линейных операторов, действующих в
этом пространстве. Оно является ассоциативным кольцом с единицей отно-
сительно сложения и композиции операторов. Аналогично примеру 15 в этом
множестве можно ввести другое умножение, рассмотрев коммутатор линей-
ных операторов.
  Пример 17. Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел
являются полями относительно обычных операций сложения и умножения
чисел.
  Пример 18. Множество C(R), состоящее из функций, непрерывных на
прямой, является кольцом, если сложение и умножение определить следу-
ющим образом:
  (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x)g(x),      f, g ∈ C ′ (R), x ∈ R.   (1)
   Определение 8. Элементы a и b кольца R называются делителями нуля,
если
   1) сами они отличны от нуля, a 6= 0, b 6= 0;
   2) их произведение равно нулю, ab = 0.
   Пример 19. Функции f (x) = |x| + x, g(x) = |x| − x являются делителями
нуля в кольце непрерывных функций на прямой.
   Пример 20. Матрицы ( 10 00 ) и ( 00 01 ) являются делителями нуля в коль-
це Mat(2, 2).
   Определение 9. Пусть R и R′ — кольца. Отображение f : R → R′ назы-
вается гомоморфизмом колец, если
                  f (a + b) = f (a) + f (b),   f (ab) = f (a)f (b)
для любых элементов a, b ∈ R.
  Определение 10. Пусть f : R → R′ — гомоморфизм колец. Множество
                          ker f = { a ∈ R | f (a) = 0 }
называется ядром гомоморфизма f . Множество
                      im f = { a′ ∈ R′ | a′ = f (a), a ∈ R }
называется образом гомоморфизма f .
  Определение 11. Пусть f : R → R′ гомоморфизм колец. Тогда: