Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§18. Основные определения и примеры 85
рациональных чисел является подгруппой. Точно так же группу по умноже-
нию образует множество всех действительных чисел, а подмножество поло-
жительных чисел — её подгруппа.
Пример 3. Множество Z всех целых чисел является группой относительно
сложения, а все чётные числа образуют подгруппу (в отличие от нечётных).
Заметим, что пока все рассм от ренные нами группы были коммутативными.
Определение 2. Отображение ϕ: G → H группы G в группу H назы-
вается гомоморфизмом, если ϕ(f · g) = ϕ(f) · ϕ(g) для всех f, g ∈ G. Гомо-
морфизм называется эпиморфизмом, если он является сюръекцией, и моно-
морфизмом, если он — инъекция. Если гомоморфизм является одновременно
и эпиморфизмом, и мономорфизмом, то он называется изоморфизмом. Груп-
пы, между которыми существует изомо рфизм, называются изоморфными, и
с алгебраической точки зрения они неразличимы.
Пример 4. Сопоставим каждому целому числу n число 2n. Это сопостав-
ление — гомоморфизм группы це лых чисел в группу чётных чисел, являю-
щееся изоморфизмом.
Пример 5. Множество R в сех действительных чисел являе т ся коммута-
тивной группой относительно сложения, а множество R
+
всех положительных
чисел — коммутативной группой относительно умножения. Отображение
exp: R → R
+
, x 7→ e
x
— изоморфизм этих групп. Обратным к нему является отображение
ln: R
+
→ R, x 7→ ln x.
Рассм от рим ещё несколько примеров.
Пример 6 (группы подстановок). Пусть N
2
= {1, 2} — множество, со-
стоящее из первых двух натуральных чисел. Суще ствуют два отображе-
ния N
2
→ N
2
, являющиеся взаимно однозначными соотв етствиями:
σ
12
:
(
1 → 1,
2 → 2
и σ
21
:
(
1 → 2,
2 → 1.
Обозначим множество, состоящее из этих двух о т о б ражений, через Σ
2
и в
качестве групповой операции рассмотрим композицию отображений. Тогда
«произведение» элементов будет задават ь ся следующей таблицей
◦ σ
12
σ
21
σ
12
σ
12
σ
21
σ
21
σ
21
σ
12
§18. Основные определения и примеры                                     85

рациональных чисел является подгруппой. Точно так же группу по умноже-
нию образует множество всех действительных чисел, а подмножество поло-
жительных чисел — её подгруппа.
   Пример 3. Множество Z всех целых чисел является группой относительно
сложения, а все чётные числа образуют подгруппу (в отличие от нечётных).
Заметим, что пока все рассмотренные нами группы были коммутативными.
   Определение 2. Отображение ϕ : G → H группы G в группу H назы-
вается гомоморфизмом, если ϕ(f · g) = ϕ(f ) · ϕ(g) для всех f, g ∈ G. Гомо-
морфизм называется эпиморфизмом, если он является сюръекцией, и моно-
морфизмом, если он — инъекция. Если гомоморфизм является одновременно
и эпиморфизмом, и мономорфизмом, то он называется изоморфизмом. Груп-
пы, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными, и
с алгебраической точки зрения они неразличимы.
   Пример 4. Сопоставим каждому целому числу n число 2n. Это сопостав-
ление — гомоморфизм группы целых чисел в группу чётных чисел, являю-
щееся изоморфизмом.
   Пример 5. Множество R всех действительных чисел является коммута-
тивной группой относительно сложения, а множество R+ всех положительных
чисел — коммутативной группой относительно умножения. Отображение
                          exp : R → R+ ,     x 7→ ex
— изоморфизм этих групп. Обратным к нему является отображение
                         ln : R+ → R,      x 7→ ln x.
  Рассмотрим ещё несколько примеров.
   Пример 6 (группы подстановок). Пусть N2 = {1, 2} — множество, со-
стоящее из первых двух натуральных чисел. Существуют два отображе-
ния N2 → N2 , являющиеся взаимно однозначными соответствиями:
                         (                (
                           1 → 1,          1 → 2,
                   σ12 :          и σ21 :
                           2→2             2 → 1.
Обозначим множество, состоящее из этих двух отображений, через Σ2 и в
качестве групповой операции рассмотрим композицию отображений. Тогда
«произведение» элементов будет задаваться следующей таблицей
                               ◦ σ12 σ21
                              σ12 σ12 σ21
                              σ21 σ21 σ12

Страницы