Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ГЛАВА IV
Группы, кольца и поля
Понятия абстрактных алгебраических объектов (групп, полей, колец, а
также и других, которые здесь не рассматриваются) возникли в математике
при исследовании общих свойств операций сложения и умножения.
§18. Основные определения и примеры
Определение 1. Множество G, снабжённое операцией «·», условно назы-
ваемой умножением
1
, называется группой, если э та операция обладает следу-
ющими с в о йствами:
1) для любых трёх элементов выполняется равенство f ·(g ·h) = (f ·g) ·h
(ассоциативность);
2) существует тако й элемент e ∈ G, что e ·g = g ·e = g для любого g ∈ G
(существование единицы)
2
;
3) для любого элемента g из множества G существует такой элемент g
−1
∈
∈ G, что g · g
−1
= g
−1
· g = e (с уществование обратного элемента).
Группа называется коммутативной (или абелевой
3
), если f · g = g · f для
всех f, g ∈ G.
Подмножество H ⊂ G называется подгруппой в G, если из f, g ∈ H следу-
ет, что f · g ∈ H.
Очевидно, если множество H — подгруппа, то оно само является группой.
Пример 1. В любой группе, с одержащей более одног о элемента, есть по
крайней ме ре одна подгруппа, не совпадающая с само й группой, — э т о под-
группа с остоящая из единичного элемента. Она же является самой простой
из существующих групп. Ниже мы, конечно, рассмотрим более сложные и
интересные примеры.
Пример 2. Множество рациональных чисел, о тличных от нуля, образует
группу относительно операции умножения, а подмножество положительных
1
Это название действительно условно: в конкретных примерах в качестве группового умно-
жения может выступать и умножение, и сложение, и операции иного характера.
2
Как будет видно из примеров, этот элемент, в зависимости от операции в группе, может
действительно быть единицей, может совпадать с нулём, а может быть ни тем и не другим.
3
Название происходит от фамилии норвежского математика Н. Х. Абеля.
84
                                 ГЛАВА IV
                  Группы, кольца и поля

   Понятия абстрактных алгебраических объектов (групп, полей, колец, а
также и других, которые здесь не рассматриваются) возникли в математике
при исследовании общих свойств операций сложения и умножения.


§18. Основные определения и примеры
    Определение 1. Множество G, снабжённое операцией «·», условно назы-
ваемой умножением1, называется группой, если эта операция обладает следу-
ющими свойствами:
     1) для любых трёх элементов выполняется равенство f · (g · h) = (f · g) · h
        (ассоциативность);
     2) существует такой элемент e ∈ G, что e · g = g · e = g для любого g ∈ G
        (существование единицы)2;
     3) для любого элемента g из множества G существует такой элемент g −1 ∈
        ∈ G, что g · g −1 = g −1 · g = e (существование обратного элемента).
Группа называется коммутативной (или абелевой 3), если f · g = g · f для
всех f, g ∈ G.
    Подмножество H ⊂ G называется подгруппой в G, если из f, g ∈ H следу-
ет, что f · g ∈ H.
   Очевидно, если множество H — подгруппа, то оно само является группой.
   Пример 1. В любой группе, содержащей более одного элемента, есть по
крайней мере одна подгруппа, не совпадающая с самой группой, — это под-
группа состоящая из единичного элемента. Она же является самой простой
из существующих групп. Ниже мы, конечно, рассмотрим более сложные и
интересные примеры.
   Пример 2. Множество рациональных чисел, отличных от нуля, образует
группу относительно операции умножения, а подмножество положительных
   1Это название действительно условно: в конкретных примерах в качестве группового умно-
жения может выступать и умножение, и сложение, и операции иного характера.
   2Как будет видно из примеров, этот элемент, в зависимости от операции в группе, может
действительно быть единицей, может совпадать с нулём, а может быть ни тем и не другим.
   3Название происходит от фамилии норвежского математика Н. Х. Абеля.

                                           84

Страницы