Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

82 Вопросы для самопроверки
мы получаем следующие неравенства:
6 −
α
2
4
> 0, 6 ·
4 −
α
2
2
< 0,
т.е. |α| < 2
√
6, |α| > 2
√
2.
Ответ: α ∈ (−2
√
6, −2
√
2) ∪ (2
√
2, 2
√
6).
Задача 5. В зависимости от значения параметра α определить тип кри-
вой, задаваемой уравнением
x
2
+ 4xy + 4y
2
+ 2αx + 4y + 3 = 0.
Реше ние. Поскольку ∆
A
= |
1 2
2 4
| = 0, тип кривой определяется значениями
инварианта ∆
B
и полуинварианта K
A
. Имеем
∆
B
=
1 2 α
2 4 2
α 2 3
= −4(α − 1)
2
, K
A
=
1 α
α 3
+
4 2
2 3
= 11 − α
2
.
Значит, при α 6= 1 кривая является параболой. При α = 1 выполнены раве н-
ства ∆
B
= 0 и K
A
= 10 > 0, т.е. рассматриваемая кривая является парой
мнимых прямых.
Ответ: парабола при α 6= 1 и пара мнимых прямых при α = 1.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение параболы. Каково её каноническое уравнение?
2. Дайте определение эллипса. Каково его каноническое уравнение?
3. Дайте определение гиперболы. Каково её каноническое уравнение?
4. Уравнением какого вида задаются кривые второго порядка на плоско-
сти?
5. Что такое характеристическая матрица и расширенная характеристи-
ческая м а т рица кривой второго порядка?
6. Дайте определение инвариантов и полуинварианта кривой второго по-
рядка.
7. Как определить тип кривой второго порядка по её инвариантам и по-
луинварианту?
8. Как найти канонический базис для кривой второго порядка?
9. Выпишите параметрические уравнения эллипса и параболы.
10. Дайте определение гиперболических функций и перечислите их свой-
ства.
11. Какова связь меж ду гиперболическими и тригонометрическими функ-
циями?
82                                                  Вопросы для самопроверки

мы получаем следующие неравенства:
                           α2             α2 
                       6−     > 0,   6· 4−      < 0,
                           4               2
            √          √
т.е. |α| < 2 6, |α| >√2 2. √       √ √                                    
    Ответ: α ∈ (−2 6, −2 2) ∪ (2 2, 2 6).
   Задача 5. В зависимости от значения параметра α определить тип кри-
вой, задаваемой уравнением
                        x2 + 4xy + 4y 2 + 2αx + 4y + 3 = 0.
  Решение. Поскольку ∆A = | 12 24 | = 0, тип кривой определяется значениями
инварианта ∆B и полуинварианта KA . Имеем
                1 2 α
                                                 1 α   4 2
           ∆B = 2 4 2 = −4(α − 1)2,       KA =       +     = 11 − α2.
                                                 α 3   2 3
                α 2 3
Значит, при α 6= 1 кривая является параболой. При α = 1 выполнены равен-
ства ∆B = 0 и KA = 10 > 0, т.е. рассматриваемая кривая является парой
мнимых прямых.                                                        
   Ответ: парабола при α 6= 1 и пара мнимых прямых при α = 1.

Вопросы для самопроверки
      1.   Дайте определение параболы. Каково её каноническое уравнение?
      2.   Дайте определение эллипса. Каково его каноническое уравнение?
      3.   Дайте определение гиперболы. Каково её каноническое уравнение?
      4.   Уравнением какого вида задаются кривые второго порядка на плоско-
           сти?
      5.   Что такое характеристическая матрица и расширенная характеристи-
           ческая матрица кривой второго порядка?
      6.   Дайте определение инвариантов и полуинварианта кривой второго по-
           рядка.
      7.   Как определить тип кривой второго порядка по её инвариантам и по-
           луинварианту?
      8.   Как найти канонический базис для кривой второго порядка?
      9.   Выпишите параметрические уравнения эллипса и параболы.
     10.   Дайте определение гиперболических функций и перечислите их свой-
           ства.
     11.   Какова связь между гиперболическими и тригонометрическими функ-
           циями?

Страницы