Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

80 §16. Образцы решения задач
+2(at + 1) + 6(bt − 1) + 7 = (2a
2
+ 4ab − b
2
)t
2
+ (2a + 12b)t = 0.
Условием касания является то, что t = 0 есть корень кратности 2 полученного
уравнения, т.е. 2a + 12b = 0. Значит,
x = −6 t + 1, y = t − 1
— уравнение касательной, а
x = t + 1, y = 6t − 1
— уравнение нормали.
Ответ: x = −6t + 1, y = t − 1 — уравнение касательной, x = t + 1,
y = 6t − 1— уравнение нормали.
Задача 2. Опреде лить тип кривой, заданной уравнением (44).
Решение. Рассмотрим характеристическую и расширенную характеристи-
ческую матрицы кривой
A =
2 2
2 −1
, B =
2 2 1
2 −1 3
1 3 7
.
Поскольку ∆
A
= −6 < 0 и ∆
B
= −47 6= 0, кривая является гиперболой.
Ответ: кривая, заданная уравнением (44), является гиперболой.
Задача 3. Найти каноническое уравнение и канонические координаты
кривой, заданной уравнением (44).
Решение. Рассмотрим характеристичес кое уравнение
|A − λE| =
2 − λ 2
2 −1 − λ
= λ
2
− λ − 6 = 0.
Его корни λ
1
= 3 и λ
2
= −2 суть собственные значения характеристической
матрицы A. Этим собственным значениям соответствуют собст в енные векто-
ры e
1
= (v
1
, w
1
) и e
2
= (v
2
, w
2
), определяемые из условий
2 2
2 −1
v
1
w
1
= 3
v
1
w
1
,
2 2
2 −1
v
2
w
2
= −2
v
2
w
2
,
откуда следует, что в качестве решений можно выбрать векторы e
1
= (2, 1)
и e
2
= (1, −2). Соответст в ующие единичные векторы имеют вид
f
1
=
2
√
5
5
,
√
5
5
, f
2
=
√
5
5
, −
2
√
5
5
. (45)
80                                               §16. Образцы решения задач

          +2(at + 1) + 6(bt − 1) + 7 = (2a2 + 4ab − b2)t2 + (2a + 12b)t = 0.
Условием касания является то, что t = 0 есть корень кратности 2 полученного
уравнения, т.е. 2a + 12b = 0. Значит,
                           x = −6t + 1,     y = t−1
— уравнение касательной, а
                            x = t + 1,    y = 6t − 1
— уравнение нормали.                                              
   Ответ: x = −6t + 1, y = t − 1 — уравнение касательной, x = t + 1,
y = 6t − 1— уравнение нормали.
     Задача 2. Определить тип кривой, заданной уравнением (44).
   Решение. Рассмотрим характеристическую и расширенную характеристи-
ческую матрицы кривой
                                                
                                       2 2 1
                        2 2
                  A=          ,    B = 2 −1 3 .
                        2 −1
                                         1 3 7
Поскольку ∆A = −6 < 0 и ∆B = −47 6= 0, кривая является гиперболой.             
  Ответ: кривая, заданная уравнением (44), является гиперболой.
  Задача 3. Найти каноническое уравнение и канонические координаты
кривой, заданной уравнением (44).
     Решение. Рассмотрим характеристическое уравнение
                              2−λ   2
                 |A − λE| =              = λ2 − λ − 6 = 0.
                               2  −1 − λ
Его корни λ1 = 3 и λ2 = −2 суть собственные значения характеристической
матрицы A. Этим собственным значениям соответствуют собственные векто-
ры e1 = (v1, w1) и e2 = (v2, w2), определяемые из условий
                                                   
          2 2        v1         v1         2 2      v2       v
                          =3         ,                  = −2 2 ,
          2 −1       w1         w1         2 −1     w2       w2
откуда следует, что в качестве решений можно выбрать векторы e1 = (2, 1)
и e2 = (1, −2). Соответствующие единичные векторы имеют вид
                        2√5 √5            √5 2√5 
                  f1 =      ,     ,   f2 =      ,−    .            (45)
                          5   5               5    5

Страницы