Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§16. Образцы решения задач 79
Уравнение касательной плоскости для неё имеет вид
xx
0
a
2
−
yy
0
b
2
= 1.
Пусть (x
0
, y
0
) — точка на правой ветви гиперболы. Соединим эту точку
с фокусами. Тогда, как и выше, можно проверить, что полученные прямые
будут пересекаться с каса т ельной к гиперболе в рассматриваемой точке под
одинаковыми углами. Это означает, что если в левом фокусе помещён источ-
ник света, то отражённые от правой ветви лучи будут распрос траняться так
же ка к если бы источник находился в правом фокусе (см. рис. 8).
F
+
F
−
Рис. 8: Гиперболическое зеркало
§16. Образцы решения задач
Задача 1. Кривая второг о порядка задана уравнением
2x
2
+ 4xy −y
2
+ 2x + 6y + 7 = 0. (44)
Выписать уравнения касательной и нормали к этой кривой, проходящих через
точку A(1, −1).
Решение. Очевидно, точка A лежит на кривой (44). Рассмотрим парамет-
рическое уравнение произвольной прямой, проходяще й через эту точку:
x = at + 1, y = bt − 1.
Подставляя выражения для x и y в уравнение (44), получаем
2(at + 1)
2
+ 4(at + 1)(bt − 1) − (bt − 1)
2
+ 2(at + 1) + 6(bt − 1) + 7 =
= 2(a
2
t
2
+ 2at + 1 ) + 4(abt
2
+ (b − a)t − 1) − (b
2
t
2
− 2bt + 1)+
§16. Образцы решения задач                                                     79

Уравнение касательной плоскости для неё имеет вид
                              xx0 yy0
                                  − 2 = 1.
                               a2    b
   Пусть (x0, y0) — точка на правой ветви гиперболы. Соединим эту точку
с фокусами. Тогда, как и выше, можно проверить, что полученные прямые
будут пересекаться с касательной к гиперболе в рассматриваемой точке под
одинаковыми углами. Это означает, что если в левом фокусе помещён источ-
ник света, то отражённые от правой ветви лучи будут распространяться так
же как если бы источник находился в правом фокусе (см. рис. 8).




                               F−            F+




                     Рис. 8: Гиперболическое зеркало



§16. Образцы решения задач
  Задача 1. Кривая второго порядка задана уравнением
                     2x2 + 4xy − y 2 + 2x + 6y + 7 = 0.                       (44)
Выписать уравнения касательной и нормали к этой кривой, проходящих через
точку A(1, −1).
  Решение. Очевидно, точка A лежит на кривой (44). Рассмотрим парамет-
рическое уравнение произвольной прямой, проходящей через эту точку:
                         x = at + 1,     y = bt − 1.
Подставляя выражения для x и y в уравнение (44), получаем
   2(at + 1)2 + 4(at + 1)(bt − 1) − (bt − 1)2 + 2(at + 1) + 6(bt − 1) + 7 =
          = 2(a2t2 + 2at + 1) + 4(abt2 + (b − a)t − 1) − (b2t2 − 2bt + 1)+

Страницы