Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

78 §15. Оптические свойства кривых второго порядка
параболы (
p
2
, 0) с точкой пересечения. Тогда, пользуясь свойствами скаляр-
ного произведения (формула (32) из §10), можно убедиться, что углы между
этими прямыми и касательной к параболе в рассматриваемой точке, равны
между собой. Это означает, что пучок параллельных оси лучей, падающих на
параболическое зеркало, концентрируется в его фокусе, — отсюда и название.
Обратно, если в фокусе помещён источник света, то отражённый от параболы
свет распространяется параллельным оси пучком (с м . рис. 6).
F
Рис. 6: Параболическое
зеркало
Перейдём к рассмотрению оптических свойств
эллипса. Уравнение касательной, проходящей че-
рез точку (x
0
, y
0
), имеет вид
x
0
x
a
2
+
y
0
y
b
2
= 1,
если эллипс задан своим каноническим уравнени-
ем
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
Соединим рассматриваемую точку прямыми с
фокусами эллипса. Тогда, воспользова в шись уже
упомянутой формулой (32) для косинуса, мы мо-
жем убедиться, что э т и прямые образуют одина-
ковые углы с касательной к эллипсу. Значит, если
внутренняя поверхность э ллипса является зерка-
лом, то пучок света, выпуще нный из одного фокуса, будет собираться в дру-
гом (см. рис. 7).
Наконец, рассмотрим гиперболу
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1.
F
+
F
−
Рис. 7: Эллиптическое зеркало
78                      §15. Оптические свойства кривых второго порядка

параболы ( p2 , 0) с точкой пересечения. Тогда, пользуясь свойствами скаляр-
ного произведения (формула (32) из §10), можно убедиться, что углы между
этими прямыми и касательной к параболе в рассматриваемой точке, равны
между собой. Это означает, что пучок параллельных оси лучей, падающих на
параболическое зеркало, концентрируется в его фокусе, — отсюда и название.
Обратно, если в фокусе помещён источник света, то отражённый от параболы
свет распространяется параллельным оси пучком (см. рис. 6).
                                Перейдём к рассмотрению оптических свойств
                             эллипса. Уравнение касательной, проходящей че-
                             рез точку (x0, y0), имеет вид
                                          x0x y0 y
                                              + 2 = 1,
                                           a2    b
                          если эллипс задан своим каноническим уравнени-
                          ем
 F
                                              x2 y 2
                                                +    = 1.
                                              a2 b2
                             Соединим рассматриваемую точку прямыми с
                          фокусами эллипса. Тогда, воспользовавшись уже
                          упомянутой формулой (32) для косинуса, мы мо-
Рис. 6: Параболическое жем убедиться, что эти прямые образуют одина-
зеркало                   ковые углы с касательной к эллипсу. Значит, если
                          внутренняя поверхность эллипса является зерка-
лом, то пучок света, выпущенный из одного фокуса, будет собираться в дру-
гом (см. рис. 7).
   Наконец, рассмотрим гиперболу
                                x2 y 2
                                   − 2 = 1.
                                a2  b




                           F−                  F+




                      Рис. 7: Эллиптическое зеркало

Страницы