Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

76 §15. Оптические свойства кривых второго порядка
§15. Оптические свойства кривых второго порядка
Кривые второго порядка обладают замечательными оптическими свой-
ствами. Чтобы эти свойства описать, обсудим вначале, как свет отражается
от «кривых зеркал». Если зеркало плоское, то закон отражения извес т ен —
угол падения равен углу отражения. В случае же кривого зеркала этот закон
формулируется так: угол падения света на касательную к зеркалу равен углу
отражения от неё. Значит, чтобы заниматься «криволинейной геометрической
оптикой», нужно знать, чт´о такое касательная.
Рис. 5: Приближение каса-
тельной секущими
Школьное определение («касательной к
окружности называется прямая, пересекаю-
щая эту окружность в единственной точке»)
не явля ется удовлетворительным: ле гко по-
нять, что для других кривых (например, для
параболы) это определение будет приводить к
результатам, противоречащим нашему интуи-
тивному представлению о касательных.
Гораздо более правильным было бы опре-
делить касательную так: рассмотрим точку
на кривой, проведём через эту точку произ-
вольную секущую и будем приближать вто-
рую точку пересечения к исходной — то-
гда «в пределе» мы получим касательную
(см. рис. 5). Такое определение, надлежащим
образом уточнённое, применимо к любой кри-
вой, но чтобы е го можно было использовать
с полной математической строгостью, необхо-
дим язык математического анализа, знакомство с которым пока не предпола-
гается. Поскольку мы имеем дело не с произвольными кривыми, а с кривыми
второго порядка, нужное нам определение можно сформулировать.
Именно, рассмотрим точку на кривой и скажем, что прямая, проходящая
через эту то чку, является касательной, если пересечение является «двукрат-
ным». Точное определение таково.
Определение 7. Рассмотрим кривую второго порядка
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2b
1
x + 1b
2
y + c = 0
и точку (x
0
, y
0
) на этой кривой. Прямая, проходящая через эту точку и зада-
ваемая параметрическими уравнениями
x = v
1
t + x
0
, y = v
2
t + y
0
,
76                      §15. Оптические свойства кривых второго порядка

§15. Оптические свойства кривых второго порядка
   Кривые второго порядка обладают замечательными оптическими свой-
ствами. Чтобы эти свойства описать, обсудим вначале, как свет отражается
от «кривых зеркал». Если зеркало плоское, то закон отражения известен —
угол падения равен углу отражения. В случае же кривого зеркала этот закон
формулируется так: угол падения света на касательную к зеркалу равен углу
отражения от неё. Значит, чтобы заниматься «криволинейной геометрической
оптикой», нужно знать, что́ такое касательная.
                                  Школьное определение («касательной к
                               окружности называется прямая, пересекаю-
                               щая эту окружность в единственной точке»)
                               не является удовлетворительным: легко по-
                               нять, что для других кривых (например, для
                               параболы) это определение будет приводить к
                               результатам, противоречащим нашему интуи-
                               тивному представлению о касательных.
                                  Гораздо более правильным было бы опре-
                               делить касательную так: рассмотрим точку
                               на кривой, проведём через эту точку произ-
                               вольную секущую и будем приближать вто-
                               рую точку пересечения к исходной — то-
                               гда «в пределе» мы получим касательную
                               (см. рис. 5). Такое определение, надлежащим
Рис. 5: Приближение каса-
                               образом уточнённое, применимо к любой кри-
тельной секущими
                               вой, но чтобы его можно было использовать
                               с полной математической строгостью, необхо-
дим язык математического анализа, знакомство с которым пока не предпола-
гается. Поскольку мы имеем дело не с произвольными кривыми, а с кривыми
второго порядка, нужное нам определение можно сформулировать.
   Именно, рассмотрим точку на кривой и скажем, что прямая, проходящая
через эту точку, является касательной, если пересечение является «двукрат-
ным». Точное определение таково.
     Определение 7. Рассмотрим кривую второго порядка
                a11 x2 + 2a12xy + a22 y 2 + 2b1x + 1b2y + c = 0
и точку (x0, y0) на этой кривой. Прямая, проходящая через эту точку и зада-
ваемая параметрическими уравнениями
                       x = v1 t + x0 ,    y = v2t + y0 ,

Страницы