Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14. Другие способы задания кривых 75
получаем
sin
2
ϕ · r
2
− 2p cos ϕ · r − p
2
.
Это — квадратное уравнение относительно r. Решая его и принимая во вни-
мание, что полярный радиус не может быть отрицательным, получаем
r =
p
1 − cos ϕ
. (36)
Это и есть уравнение параболы в полярных координатах.
Эллипс. В случае эллипса поместим начало полярных координат в одном
из фокусов — скажем, в левом, т.е. положим
x = −c + r cos ϕ, y = r sin ϕ,
где c =
√
a
2
− b
2
— эксцентриситет. Подставляя эти выражения в каноническое
уравнение эллипса (2)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0,
получим
r =
p
1 − e cos ϕ
, (37)
где p =
b
2
a
, e =
c
a
< 1.
Гипербола. Точно такие же вычисления приводят к уравнению гиперболы:
если поместить начало координат в её правый фокус, то мы получим уравне-
ние правой ветви в виде
r =
p
1 − e cos ϕ
, (38)
где p =
b
2
a
, e =
c
a
> 1.
Итак, имеет место следующий результат:
Теорема 3. Любая невырожденная кривая второго порядка (т.е . парабо-
ла, гипербола или эллипс) в полярных координатах описывается уравнением
r =
p
1 − e cos ϕ
, e > 0, (39)
где e < 1 для эллипса, e = 1 для параболы и e > 1 для гиперболы.
§14. Другие способы задания кривых                                       75

получаем
                                 sin2 ϕ · r2 − 2p cos ϕ · r − p2 .
Это — квадратное уравнение относительно r. Решая его и принимая во вни-
мание, что полярный радиус не может быть отрицательным, получаем
                                                  p
                                         r=             .               (36)
                                              1 − cos ϕ
Это и есть уравнение параболы в полярных координатах.

Эллипс. В случае эллипса поместим начало полярных координат в одном
из фокусов — скажем, в левом, т.е. положим
                               x = −c + r cos ϕ,         y = r sin ϕ,
       √
где c = a2 − b2— эксцентриситет. Подставляя эти выражения в каноническое
уравнение эллипса (2)
                                 x2 y 2
                                   +    = 1,            a > b > 0,
                                 a2 b2
получим
                                                   p
                                        r=                ,             (37)
                                              1 − e cos ϕ
          b2        c
где p =   a,   e=   a   < 1.

Гипербола. Точно такие же вычисления приводят к уравнению гиперболы:
если поместить начало координат в её правый фокус, то мы получим уравне-
ние правой ветви в виде
                                      p
                             r=              ,                      (38)
                                 1 − e cos ϕ
          b2        c
где p =   a,   e=   a   > 1.
  Итак, имеет место следующий результат:
   Теорема 3. Любая невырожденная кривая второго порядка (т.е. парабо-
ла, гипербола или эллипс) в полярных координатах описывается уравнением
                                             p
                                   r=               ,     e > 0,        (39)
                                        1 − e cos ϕ
где e < 1 для эллипса, e = 1 для параболы и e > 1 для гиперболы.

Страницы