Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14. Другие способы задания кривых 73
и гиперболический котангенс —
cth x =
ch x
sh x
=
e
x
+ e
−x
e
x
− e
−x
. (18)
Обратные гиперболические функции
5
имеют вид
Arsh x = ln(x +
p
x
2
+ 1), x ∈ R, гиперболический арксинус , (19)
Arch x = ±ln(x +
p
x
2
− 1), 1 6 x, гиперболический арккосинус, (20)
Arth x =
1
2
ln
1 + x
1 − x
, |x| < 1, гиперболический арктангенс, (21)
Arcth x =
1
2
ln
x + 1
x − 1
, |x| > 1, гиперболический арккотанг енс. (22)
Отметим в заключение основные свойства гиперболических функций, ко-
торые также напо м инают аналогичные сво йства тригонометрических:
th x ·cth x = 1, (23)
sh(x ± y) = sh x ch y ±ch x sh y, (24)
ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y, (25)
th(x ±y) =
th x ± th y
1 ±th x th y
, (26)
cth(x ±y) =
1 ±cth x cth y
cth x ±cth y
, (27)
sh x ± sh y = 2 sh
x ± y
2
ch
x ∓ y
2
, (28)
ch x + ch y = 2 ch
x + y
2
ch
x − y
2
, (29)
ch x − ch y = 2 sh
x + y
2
sh
x − y
2
, (30)
а также ещё одно замечательное свойство —
(ch x ± sh x)
n
= ch nx ± sh nx. (31)
Замечание. В последней формуле читаются либо два верхних плюса, ли-
бо два нижних минуса. Аналогичным образом понимаются ниже и все осталь -
ные равенства подобного вида. Например, a
2
− b
2
= (a ± b)(a ∓ b) .
5
Обратные гиперболические функции называются иногда ареа-функциями.
§14. Другие способы задания кривых                                        73

и гиперболический котангенс —
                                    ch x ex + e−x
                            cth x =     =         .                      (18)
                                    sh x ex − e−x
  Обратные гиперболические       функции 5 имеют вид
                 p
 Arsh x = ln(x + x2 + 1),         x ∈ R, гиперболический арксинус,       (19)
                  p
 Arch x = ± ln(x + x2 − 1),       1 6 x, гиперболический арккосинус,     (20)
          1 1+x
 Arth x = ln       ,              |x| < 1, гиперболический арктангенс,   (21)
          2 1−x
           1 x+1
 Arcth x = ln        ,            |x| > 1, гиперболический арккотангенс. (22)
           2 x−1
   Отметим в заключение основные свойства гиперболических функций, ко-
торые также напоминают аналогичные свойства тригонометрических:
                        th x · cth x = 1,                                (23)
                        sh(x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y,               (24)
                        ch(x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y,               (25)
                                      th x ± th y
                        th(x ± y) =                ,                     (26)
                                     1 ± th x th y
                                      1 ± cth x cth y
                        cth(x ± y) =                  ,                  (27)
                                       cth x ± cth y
                                           x±y x∓y
                        sh x ± sh y = 2 sh        ch       ,             (28)
                                             2          2
                                           x+y x−y
                        ch x + ch y = 2 ch        ch       ,             (29)
                                             2          2
                                           x+y x−y
                        ch x − ch y = 2 sh        sh       ,             (30)
                                             2          2
а также ещё одно замечательное свойство —

                       (ch x ± sh x)n = ch nx ± sh nx.                   (31)
   Замечание. В последней формуле читаются либо два верхних плюса, ли-
бо два нижних минуса. Аналогичным образом понимаются ниже и все осталь-
ные равенства подобного вида. Например, a2 − b2 = (a ± b)(a ∓ b).

  5Обратные гиперболические функции называются иногда ареа-функциями.

Страницы