Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

72 §14. Другие способы задания кривых
Множество точек плоскости, задаваемых этим уравнением, то же что и мно-
жество, задаваемое уравнением (10), т.е. эллипс
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
Однако движение точки в этом случае другое — если в силу уравнения (10)
точка проходит эллипс за время 2π, то во втором случае тот же эллипс про-
ходится за вре м я π, т.е. движение, описываемое уравнением (11) в два раза
быстрее первого.
Нетрудно выписать параметрическое уравнение параболы:
y = t, x =
t
2
2p
. (12)
Нахождение же удобной параметризации для гиперболы не столь тривиально
и приводит к понятию гиперболических функций.
Гиперболические функции. Функция
sh x =
e
x
− e
−x
2
(13)
называется гиперболическим синусом. Функция
ch x =
e
x
+ e
−x
2
(14)
называется гиперболическим косинусом. Непосредственно из определений
этих функций в ытекает тождество
ch
2
x −sh
2
x = 1, (15)
являющееся аналогом тригонометрического тождества cos
2
x + sin
2
x = 1 и
позволяющее ввести параметризацию гиперболы следующим образом
x = a ch t, y = b sh t, t ∈ R. (16)
Таким образом, гиперболические функции играют ту же роль для гиперболы,
что и об ычные тригонометрические функции для эллипса. Отсюда и назва-
ние этих ф ункций. Параллель между «гиперболической» и «эллиптической»
тригонометрией этим не ограничивается, и об этой параллели будет сказано
в §21.
Определим гиперболический тангенс, полагая
th x =
sh x
ch x
=
e
x
− e
−x
e
x
+ e
−x
, (17)
72                                      §14. Другие способы задания кривых

Множество точек плоскости, задаваемых этим уравнением, то же что и мно-
жество, задаваемое уравнением (10), т.е. эллипс
                                x2 y 2
                                  +    = 1.
                                a2 b2
Однако движение точки в этом случае другое — если в силу уравнения (10)
точка проходит эллипс за время 2π, то во втором случае тот же эллипс про-
ходится за время π, т.е. движение, описываемое уравнением (11) в два раза
быстрее первого.
   Нетрудно выписать параметрическое уравнение параболы:
                                           t2
                            y = t,       x= .                         (12)
                                           2p
Нахождение же удобной параметризации для гиперболы не столь тривиально
и приводит к понятию гиперболических функций.
Гиперболические функции. Функция
                                   ex − e−x
                            sh x =                                    (13)
                                       2
называется гиперболическим синусом. Функция
                                  ex + e−x
                           ch x =                                (14)
                                      2
называется гиперболическим косинусом. Непосредственно из определений
этих функций вытекает тождество
                             ch2 x − sh2 x = 1,                       (15)
являющееся аналогом тригонометрического тождества cos2 x + sin2 x = 1 и
позволяющее ввести параметризацию гиперболы следующим образом
                      x = a ch t,    y = b sh t,   t ∈ R.             (16)
Таким образом, гиперболические функции играют ту же роль для гиперболы,
что и обычные тригонометрические функции для эллипса. Отсюда и назва-
ние этих функций. Параллель между «гиперболической» и «эллиптической»
тригонометрией этим не ограничивается, и об этой параллели будет сказано
в §21.
   Определим гиперболический тангенс, полагая
                                 sh x ex − e−x
                          th x =     =         ,                      (17)
                                 ch x ex + e−x

Страницы