Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

70 §13. Определения и классификация
Пусть
A
1
=
a
1
11
a
1
12
a
1
12
a
1
22
, B
1
=
a
1
11
a
1
12
b
1
1
a
1
12
a
1
22
b
1
2
b
1
1
b
1
2
c
1
— характеристическая и расширенная характеристическая матрицы кривой
в новых координатах. Тогда справедлива
Теорема 2. Имеют место равенства
∆
A
= ∆
A
1
, tr A = tr A
1
, ∆
B
= ∆
B
1
.
Если ∆
A
= 0, то и
K
A
= K
A
1
.
Таким образо м , инварианты кривой не меняются при заменах координат
указанного вида.
O
e
f
v
w
O
1
v
1
w
1
Рис. 4: Выбор канонических
координат для эллипса
Рассмотрим кривую, заданную уравнени-
ем (4). Её характеристическая матрица сим-
метрична, и поэтому (см. пример 12 из §8)
обладает двумя вещественными собственными
значениями λ и µ. Если λ 6= µ, то соответству-
ющие собственные векторы v и w ортогональ-
ны, если же λ = µ, то любую пару ортогональ-
ных векторов можно выбрать в качестве бази-
са со б ственных в екторов матрицы A. Посколь-
ку собственные векторы определены с точно-
стью до пропорциональности, можно считать,
что они имеют единичную длину.
Возьмём векторы v и w в качестве базисных.
В новом базисе матрица A примет вид
λ 0
0 µ
,
и, значит, кривая будет задаваться уравнением
λx
2
+ µy
2
+ 2b
1
x + 2b
2
y + c = 0.
Если оба собственных значения отличны от нуля, то последнее уравнение
можно переписат ь следующим образом
λ
x +
b
1
λ
2
+ µ
y +
b
2
µ
2
=
b
2
1
λ
+
b
2
2
µ
− c.
70                                          §13. Определения и классификация

Пусть
                                                  1            
                                                a11 a112 b11
                    1       a111 a112
                 A =                  ,    B 1 = a112 a122 b12 
                            a112 a122
                                                  b11 b12 c1
— характеристическая и расширенная характеристическая матрицы кривой
в новых координатах. Тогда справедлива
     Теорема 2. Имеют место равенства
                    ∆A = ∆A1 ,      tr A = tr A1,   ∆B = ∆B 1 .
Если ∆A = 0, то и
                                     KA = KA1 .
   Таким образом, инварианты кривой не меняются при заменах координат
указанного вида.
                              Рассмотрим кривую, заданную уравнени-
         w1             v1 ем (4). Её характеристическая матрица сим-
                           метрична, и поэтому (см. пример 12 из §8)
             O1            обладает двумя вещественными собственными
                           значениями λ и µ. Если λ 6= µ, то соответству-
                           ющие собственные векторы v и w ортогональ-
                           ны, если же λ = µ, то любую пару ортогональ-
          f                ных векторов можно выбрать в качестве бази-
w               v          са собственных векторов матрицы A. Посколь-
                           ку собственные векторы определены с точно-
                  e        стью до пропорциональности, можно считать,
        O                  что они имеют единичную длину.
                              Возьмём векторы v и w в качестве базисных.
Рис. 4: Выбор канонических
                           В новом базисе матрица A примет вид
координат для эллипса                        
                                          λ 0
                                                ,
                                          0 µ
и, значит, кривая будет задаваться уравнением
                        λx2 + µy 2 + 2b1x + 2b2y + c = 0.
Если оба собственных значения отличны от нуля, то последнее уравнение
можно переписать следующим образом
                         2          2
                       b1           b2     b2 b2
                λ x+         +µ y+        = 1 + 2 − c.
                       λ            µ       λ   µ

Страницы