Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13. Определения и классификация 69
Теорема 1. Пусть задана кривая второго порядка, описываемая уравне-
нием (4). Тогда:
1. Если ∆
A
> 0, то
а) при tr A · ∆
B
< 0 эта кривая явля ется эллипсом (в час т ности,
при λ
1
= λ
2
этот эллипс является окружностью);
б) при tr A ·∆
B
> 0 эта кривая я в ля ется пустым множеством (называ-
емым в данном случае мнимым эллипсом);
в) при ∆
B
= 0 эта кривая состоит из одной точки (называемой в дан-
ном случае вырожденным э ллипсом).
2. Если ∆
A
< 0, то
а) при ∆
B
6= 0 эта кривая является гиперболой;
б) при ∆
B
= 0 рассматриваемая кривая является парой пересекающих-
ся прямых.
3. Если ∆
A
= 0, то
а) при ∆
B
6= 0 эта кривая является параболой;
б) при ∆
B
= 0 и K
A
< 0 эта кривая является парой параллельных
прямых;
в) при ∆
B
= 0 и K
A
> 0 эта кривая я в ля ется пустым множеством
(называемым в данном случае парой мнимых);
г) при ∆
B
= 0 и K
A
= 0 эта кривая является парой совпадающих
прямых.
Поясним термины «инвариант» и «полуинвариант», введённые выше. Обо-
значим через e и f векторы длины 1, направленные в доль осей x и y в право и
вверх соответственно и приложенные к началу координат O. Пусть O
1
другая
точка плоскости и v
1
и w
1
— приложенные к ней векторы, имеющие единичную
длину и взаимно перпендикулярные. Тогда точка O
1
вместе с векторами v
1
и w
1
образуют новую декартову сис т ему координат на плоскости.
Пусть теперь на плоскости задана кривая второго порядка, определяемая
уравнением (4). Обозначим через x
1
, y
1
новые координаты. Они связаны со
старыми соотношениями
(
x = α
11
x
1
+ α
12
y
1
+ β
1
,
y = α
21
x
1
+ α
22
y
1
+ β
2
,
и в новых координатах уравнение кривой примет вид
a
1
11
x
2
1
+ 2a
1
12
x
1
y
1
+ a
1
22
y
2
1
+ 2b
1
1
x
1
+ 2b
1
2
y
1
+ c
1
= 0.
§13. Определения и классификация                                           69

  Теорема 1. Пусть задана кривая второго порядка, описываемая уравне-
нием (4). Тогда:
   1. Если ∆A > 0, то
      а) при tr A · ∆B < 0 эта кривая является эллипсом (в частности,
         при λ1 = λ2 этот эллипс является окружностью);
      б) при tr A · ∆B > 0 эта кривая является пустым множеством (называ-
         емым в данном случае мнимым эллипсом);
      в) при ∆B = 0 эта кривая состоит из одной точки (называемой в дан-
         ном случае вырожденным эллипсом).
   2. Если ∆A < 0, то
      а) при ∆B 6= 0 эта кривая является гиперболой;
      б) при ∆B = 0 рассматриваемая кривая является парой пересекающих-
         ся прямых.
   3. Если ∆A = 0, то
      а) при ∆B 6= 0 эта кривая является параболой;
      б) при ∆B = 0 и KA < 0 эта кривая является парой параллельных
         прямых;
      в) при ∆B = 0 и KA > 0 эта кривая является пустым множеством
         (называемым в данном случае парой мнимых);
      г) при ∆B = 0 и KA = 0 эта кривая является парой совпадающих
         прямых.

   Поясним термины «инвариант» и «полуинвариант», введённые выше. Обо-
значим через e и f векторы длины 1, направленные вдоль осей x и y вправо и
вверх соответственно и приложенные к началу координат O. Пусть O1 другая
точка плоскости и v1 и w1 — приложенные к ней векторы, имеющие единичную
длину и взаимно перпендикулярные. Тогда точка O1 вместе с векторами v1
и w1 образуют новую декартову систему координат на плоскости.
   Пусть теперь на плоскости задана кривая второго порядка, определяемая
уравнением (4). Обозначим через x1, y1 новые координаты. Они связаны со
старыми соотношениями
                         (
                          x = α11 x1 + α12 y1 + β1,
                          y = α21 x1 + α22 y1 + β2,

и в новых координатах уравнение кривой примет вид

             a111 x21 + 2a112x1y1 + a122 y12 + 2b11x1 + 2b12y1 + c1 = 0.

Страницы