Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13. Определения и классификация 67
F
+
(c, 0)F
−
(−c, 0)
Рис. 3: Гипербола, её фокусы и асимптоты
Замечание. При стремлении a к нулю гипербола вырождается в два эк-
земпляра пря м о й, проходящей через середину отрезка, соединяющего фоку-
сы, и перпендикулярной этому отрезку. Если же b стремится к бесконечности,
она вырождается в пару прямых x = ±a.
Оказывается, все перечисленные фигуры (парабола, эллипс и гипербола)
можно задать в общем и е динообразном виде.
Определение 4. Множество точек плоскости, координаты которых удо-
влетворяют уравнению
a
11
x
2
+ 2a
12
xy + a
22
y
2
+ 2b
1
x + 2b
2
y + c = 0, (4)
где a
ij
, b
i
и c — действительные числа и хотя бы одно из чисел a
ij
отлично от
нуля, называется кривой второго порядка.
Как мы убедимся, перечисле нными в опреде лениях 1—3 множествами ис-
черпываются вс е «интерес ные» кривые вт о рого порядка.
Инварианты кривых второго порядка. О том, какую кривую з а даёт
уравнение (4), можно судить по коэффициентам, находящимся в правой части
этого уравнения.
Определение 5. Матрица
A =
a
11
a
12
a
12
a
22
(5)
называется характеристической матрицей кривой, заданной уравнени-
ем (4). Матрица
B =
a
11
a
12
b
1
a
12
a
22
b
2
b
1
b
2
c
(6)
называется расширенной характе ристической матрицей.
§13. Определения и классификация                                           67




                          F− (−c, 0)             F+ (c, 0)




                 Рис. 3: Гипербола, её фокусы и асимптоты


   Замечание. При стремлении a к нулю гипербола вырождается в два эк-
земпляра прямой, проходящей через середину отрезка, соединяющего фоку-
сы, и перпендикулярной этому отрезку. Если же b стремится к бесконечности,
она вырождается в пару прямых x = ±a.
  Оказывается, все перечисленные фигуры (парабола, эллипс и гипербола)
можно задать в общем и единообразном виде.
   Определение 4. Множество точек плоскости, координаты которых удо-
влетворяют уравнению
                a11x2 + 2a12xy + a22 y 2 + 2b1x + 2b2y + c = 0,            (4)
где aij , bi и c — действительные числа и хотя бы одно из чисел aij отлично от
нуля, называется кривой второго порядка.
   Как мы убедимся, перечисленными в определениях 1—3 множествами ис-
черпываются все «интересные» кривые второго порядка.
Инварианты кривых второго порядка. О том, какую кривую задаёт
уравнение (4), можно судить по коэффициентам, находящимся в правой части
этого уравнения.
  Определение 5. Матрица
                                                    
                                           a11 a12
                                 A=                                        (5)
                                           a12 a22
называется характеристической матрицей кривой, заданной уравнени-
ем (4). Матрица                           
                                a11 a12 b1
                          B = a12 a22 b2                    (6)
                                b1 b2 c
называется расширенной характеристической матрицей.

Страницы