Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

66 §13. Определения и классификация
F
+
(c, 0)F
−
(−c, 0)
b
a
−b
−a
Рис. 2: Эллипс и его фокусы
Определение 3. Пусть F
1
и F
2
— две не совпадающие между собой точ-
ки плоскости. Множество точек, абсолютная величина разности расстояний
от которых до точек F
1
и F
2
постоянна и равна некоторому числу 2a, a > 0 ,
называется гиперболой. Точки F
1
и F
2
называются ф окусами гиперболы. Пря-
мая, проходящая через фокусы, называется фокальной осью, а перпендику-
лярная ей прямая, проходящая через середину отрезка (эта середина называ-
ется центром гиперболы), соединяющего фокусы, мнимой осью гиперболы.
Точки пересе чения гиперболы с ф о кальной осью называются вершинами этой
гиперболы.
Если 2c — расстояние между фокусами, то число c называется эксцен-
триситетом гиперболы, а числа a и b =
√
c
2
− a
2
— её действительной и
мнимой полуосями соответственно.
Прямые, проходящие через центр г иперболы и образующие с фокальной
осью углы, для которых tg α = ±
b
a
, называются асимптотами
3
этой гипер-
болы.
Пример 3. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= 1, a > 0, b > 0, (3)
является гиперболой. Её фокальная ось с о в падае т с осью абсцисс, а мни-
мая — с осью ординат. Д ействительная полуось этой гиперболы равна a, а
мнимая — b. Фокусы гиперболы находятся в точках (±c, 0), где c =
√
a
2
+ b
2
,
а вершины — в точках (±a, 0). Уравнениями асимптот являются y = ±
b
a
x.
Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы. Пример
гиперболы приведён на рис. 3.
3
Ас´имптота — ударение на втором слоге.
66                                                 §13. Определения и классификация

                                               b




                                 F− (−c, 0)             F+ (c, 0)
                            −a                                      a




                                               −b


                              Рис. 2: Эллипс и его фокусы


   Определение 3. Пусть F1 и F2 — две не совпадающие между собой точ-
ки плоскости. Множество точек, абсолютная величина разности расстояний
от которых до точек F1 и F2 постоянна и равна некоторому числу 2a, a > 0,
называется гиперболой. Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы. Пря-
мая, проходящая через фокусы, называется фокальной осью, а перпендику-
лярная ей прямая, проходящая через середину отрезка (эта середина называ-
ется центром гиперболы), соединяющего фокусы, мнимой осью гиперболы.
Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются вершинами этой
гиперболы.
   Если 2c — расстояние между фокусами,  √ то число c называется эксцен-
триситетом гиперболы, а числа a и b = c2 − a2 — её действительной и
мнимой полуосями соответственно.
   Прямые, проходящие через центр гиперболы и образующие с фокальной
осью углы, для которых tg α = ± ab , называются асимптотами 3 этой гипер-
болы.
     Пример 3. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
                     x2 y 2
                        −     = 1,   a > 0, b > 0,                    (3)
                     a2 b2
является гиперболой. Её фокальная ось совпадает с осью абсцисс, а мни-
мая — с осью ординат. Действительная полуось этой гиперболы равна
                                                                √    a, а
мнимая — b. Фокусы гиперболы находятся в точках (±c, 0), где c = a + b2,
                                                                  2

а вершины — в точках (±a, 0). Уравнениями асимптот являются y = ± ab x.
   Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы. Пример
гиперболы приведён на рис. 3.
     3Аси́мптота — ударение на втором слоге.

Страницы