Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

68 §13. Определения и классификация
Рассмотрим матрицу A − λE, λ ∈ R, и её определитель
|A − λE| =
a
11
− λ a
12
a
12
a
22
− λ
= λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
− a
2
12
. (7)
Таким о б разом, рассматриваемый определитель я в ля ется многочленом
4
вто-
рой степени от переменной λ.
Определение 6. Многочлен P(λ) = λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
− a
2
12
на-
зывается характеристическим многочленом кривой, описываемой уравнени-
ем (4). Числа
tr A = a
11
+ a
22
, ∆
A
, ∆
B
, (8)
где ∆
A
и ∆
B
— определители матриц A и B соответственно, называются
инвариантами этой кривой. З а м етим попутно, что величина tr A называется
следом матрицы A.
Инварианты почти полностью определяют форму любой кривой второго
порядка. Если же ввести в рассмотрение ещё одну величину
K
A
=
a
11
b
1
b
1
c
+
a
22
b
2
b
2
c
, (9)
называемую полуинвариантом (или относительным инвариантом), то че-
тыре числа ∆
A
, tr A, ∆
B
и K
A
определят тип кривой полностью.
Лемма 1. Пусть P (λ) = λ
2
− ( a
11
+ a
22
)λ + a
11
a
22
− a
2
12
— характеристи-
ческий многочлен кривой второго порядка. Тогда:
1) его дискриминант неотрицателен;
2) хотя бы один из его корней отличен от нуля.
Действительно, дискриминант характеристического многочлена равен
D = (a
11
+ a
22
)
2
− 4(a
11
a
22
− a
2
12
) = (a
11
− a
22
)
2
+ 4a
2
12
> 0.
Значит, характе рист ический многочлен имеет два действительных корня λ
1
и λ
2
.
Если оба корня равны нулю, то по теоре м е Виета
∆
A
= a
11
a
22
− a
2
12
= λ
1
λ
2
= 0
и
tr A = a
11
+ a
22
= λ
1
+ λ
2
= 0,
откуда следует, что все коэффициенты a
ij
равны нулю. Но по определению 4
этого не может быть.
4
Напомним, что этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A
(см. определение 23 на с. 49).
68                                                §13. Определения и классификация

     Рассмотрим матрицу A − λE, λ ∈ R, и её определитель
                         a11 − λ   a12
         |A − λE| =                      = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11a22 − a212 .   (7)
                           a12   a22 − λ
Таким образом, рассматриваемый определитель является многочленом4 вто-
рой степени от переменной λ.
   Определение 6. Многочлен P (λ) = λ2 − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a212 на-
зывается характеристическим многочленом кривой, описываемой уравнени-
ем (4). Числа
                     tr A = a11 + a22, ∆A , ∆B ,                        (8)
где ∆A и ∆B — определители матриц A и B соответственно, называются
инвариантами этой кривой. Заметим попутно, что величина tr A называется
следом матрицы A.
  Инварианты почти полностью определяют форму любой кривой второго
порядка. Если же ввести в рассмотрение ещё одну величину
                                          a11 b1   a b
                                  KA =           + 22 2 ,                         (9)
                                          b1 c     b2 c
называемую полуинвариантом (или относительным инвариантом), то че-
тыре числа ∆A , tr A, ∆B и KA определят тип кривой полностью.
   Лемма 1. Пусть P (λ) = λ2 − (a11 + a22)λ + a11 a22 − a212 — характеристи-
ческий многочлен кривой второго порядка. Тогда:
   1) его дискриминант неотрицателен;
   2) хотя бы один из его корней отличен от нуля.
     Действительно, дискриминант характеристического многочлена равен
            D = (a11 + a22 )2 − 4(a11a22 − a212 ) = (a11 − a22 )2 + 4a212 > 0.
Значит, характеристический многочлен имеет два действительных корня λ1
и λ2 .
   Если оба корня равны нулю, то по теореме Виета
                                 ∆A = a11 a22 − a212 = λ1 λ2 = 0
и
                        tr A = a11 + a22 = λ1 + λ2 = 0,
откуда следует, что все коэффициенты aij равны нулю. Но по определению 4
этого не может быть.
     4Напомним, что этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы A
(см. определение 23 на с. 49).

Страницы