Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§13. Определения и классификация 65
F (
p
2
, 0)
d (x = −
p
2
)
Рис. 1: Парабола, её директриса (d) и фокус (F)
Замечание. Если допустить, что фокус лежит на директрисе, то множе-
ство, описываемое определением 1, превратится в прямую, перпендикулярную
директрисе и проходящую через фо кус.
Определение 2. Пусть F
1
и F
2
— точки плоскости. Множество точек,
сумма расстояний о т которых до точек F
1
и F
2
постоянна и равна некоторо-
му числу 2a, a > 0, называется эллипсом. Точки F
1
и F
2
называются фокусами
эллипса. Прямая, проходящая через фокусы, а также пе рпендикулярная ей
прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего фокусы, называ-
ются фокальными осями эллипса.
Если 2c — расстояние между фокусами, то число c называется эксцентри-
ситетом
1
эллипса, а числа a и b =
√
a
2
− c
2
— его полуосями.
Пример 2. Подмножество точек плоскости, задавае м ое уравнением
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, a > b > 0, (2)
является эллипсом. Его полуоси — это a и b, а эксцентриситет равен c =
=
√
a
2
− b
2
. Если a 6= b, то фокальными осями являются оси координат, а
при a = b — любые пары взаимно перпендикулярных пря м ых, проходящих
через начало координат.
Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса. Пример эл-
липса приведён на рис. 2.
Замечание. Если фокусы эллипса совпадают, то он превращается в
окружность радиуса a и тогда его фокальные оси не определены однознач-
но (см. пример 2 ). В с лучае, когда a = c, эллипс вырождается в отрезок,
соединяющий фокусы
2
, а если a < c, то м ножество точек э ллипса пусто.
1
Эксцентрисит´ет — ударение на последнем слоге.
2
Точнее было бы сказать, что он вырождается в две копии этого отрезка.
§13. Определения и классификация                                           65




                           d (x = − p2 )


                                           F ( p2 , 0)




               Рис. 1: Парабола, её директриса (d) и фокус (F )

   Замечание. Если допустить, что фокус лежит на директрисе, то множе-
ство, описываемое определением 1, превратится в прямую, перпендикулярную
директрисе и проходящую через фокус.
   Определение 2. Пусть F1 и F2 — точки плоскости. Множество точек,
сумма расстояний от которых до точек F1 и F2 постоянна и равна некоторо-
му числу 2a, a > 0, называется эллипсом. Точки F1 и F2 называются фокусами
эллипса. Прямая, проходящая через фокусы, а также перпендикулярная ей
прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего фокусы, называ-
ются фокальными осями эллипса.
   Если 2c — расстояние между фокусами,
                                    √      то число c называется эксцентри-
         1
ситетом эллипса, а числа a и b = a − c2 — его полуосями.
                                       2

   Пример 2. Подмножество точек плоскости, задаваемое уравнением
                        x2 y 2
                          +    = 1,    a > b > 0,                   (2)
                        a2 b2
является
  √      эллипсом. Его полуоси — это a и b, а эксцентриситет равен c =
= a − b2 . Если a 6= b, то фокальными осями являются оси координат, а
      2

при a = b — любые пары взаимно перпендикулярных прямых, проходящих
через начало координат.
   Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса. Пример эл-
липса приведён на рис. 2.
   Замечание. Если фокусы эллипса совпадают, то он превращается в
окружность радиуса a и тогда его фокальные оси не определены однознач-
но (см. пример 2). В случае, когда a = c, эллипс вырождается в отрезок,
соединяющий фокусы2, а если a < c, то множество точек эллипса пусто.
  1Эксцентрисите́т — ударение на последнем слоге.
  2Точнее было бы сказать, что он вырождается в две копии этого отрезка.

Страницы