Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§14. Другие способы задания кривых 71
Сделаем замену
x
1
= x +
b
1
λ
, y
1
= y +
b
2
µ
и приложим базисные векторы v и w к точке O
1
(
b
1
λ
,
b
2
µ
) (см. рис. 4). Теперь
новое уравнение кривой — это
λx
2
1
+ µy
2
1
= d,
где d =
b
2
1
λ
+
b
2
2
µ
− c. Если d 6= 0, то деля на эт о число обе части уравнения и
полагая
a
2
=
|d|
|λ|
, b
2
=
|d|
|µ|
,
мы, в зависимости от знаков, придём к каноническому уравнению эллипса
(возможно, мнимого) или гиперболы. Аналогичным образом рассматривают-
ся остальные случаи. Полученные таким образом координаты называются
каноническими.
§14. Другие способы задания кривых
Задание кривой с помощью уравнения (4) — не е динственный и далеко не
всегда с а м ый удобный спос о б её описания. Ниже мы опишем ещё два способа,
используемые и в гораз до более общих ситуациях.
14.1. Параметрическое задание
Рассмотрим эллипс, заданный каноническим уравнением (2) и введём но-
вую переменную t таким образом, чтобы выполнялись равенства
x = a cos t, y = b sin t. (10)
Тогда, при любом значении t ∈ R точка с координатами (x, y), задавае м ы-
ми равенствами (10), будет лежать на рассматриваемом эллипсе. В еличина t
называется параметром, а уравнение (10) — параметрическим уравнением
эллипса. Часто роль параметра выполняет время, если мы, например, описы-
ваем траекторию движения материальной точки. Заме т им, что уравнения
вида (10) несут больше информации о движении, чем уравнение (2). Действи-
тельно, рассмотрим, например, уравнение
x = a cos 2t, y = b sin 2t. (11)
§14. Другие способы задания кривых                                                 71

Сделаем замену
                                              b1                     b2
                                   x1 = x +      ,   y1 = y +
                                              λ                      µ
и приложим базисные векторы v и w к точке O1 ( bλ1 , bµ2 ) (см. рис. 4). Теперь
новое уравнение кривой — это
                                          λx21 + µy12 = d,
          b21       b22
где d =   λ     +   µ     − c. Если d 6= 0, то деля на это число обе части уравнения и
полагая
                                             |d|             |d|
                                      a2 =       ,   b2 =        ,
                                             |λ|             |µ|
мы, в зависимости от знаков, придём к каноническому уравнению эллипса
(возможно, мнимого) или гиперболы. Аналогичным образом рассматривают-
ся остальные случаи. Полученные таким образом координаты называются
каноническими.


§14. Другие способы задания кривых
   Задание кривой с помощью уравнения (4) — не единственный и далеко не
всегда самый удобный способ её описания. Ниже мы опишем ещё два способа,
используемые и в гораздо более общих ситуациях.


14.1. Параметрическое задание

  Рассмотрим эллипс, заданный каноническим уравнением (2) и введём но-
вую переменную t таким образом, чтобы выполнялись равенства
                                    x = a cos t,     y = b sin t.                 (10)
Тогда, при любом значении t ∈ R точка с координатами (x, y), задаваемы-
ми равенствами (10), будет лежать на рассматриваемом эллипсе. Величина t
называется параметром, а уравнение (10) — параметрическим уравнением
эллипса. Часто роль параметра выполняет время, если мы, например, описы-
ваем траекторию движения материальной точки. Заметим, что уравнения
вида (10) несут больше информации о движении, чем уравнение (2). Действи-
тельно, рассмотрим, например, уравнение
                                   x = a cos 2t,     y = b sin 2t.                (11)

Страницы