Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

74 §14. Другие способы задания кривых
14.2. Полярные координаты
До сих пор мы задавали координаты точки на плоскости, указывая её
проекции на оси абсцисс и ординат, т.е. пользовались декартовой системой
координат. Такой способ координирования позиции точки не единственный.
Другой, часто используемый, состоит в указании расстояния и направления
от некоторой фиксированной точки (начала отсчёта) до данной.
Точнее, пусть точка A имеет прямоугольные координаты (x, y). Рассмо т -
рим величины
r =
p
x
2
+ y
2
(32)
и
ϕ =
arctg
y
x
, если x > 0,
arctg
y
x
+ π, если x < 0, y > 0,
arctg
y
x
− π, если x < 0, y < 0,
π
2
, если x = 0, y > 0,
−
π
2
, если x = 0, y < 0,
(33)
называемые полярным радиусом и полярным углом соо т в етственно. Они од-
нозначно определяют положение точки и называются её полярными коорди-
натами. Заметим, что в начале координат полярный уго л не определён и эта
точка определяется нулевым полярным радиусом. Обратно, если известны по-
лярные координаты точки, то её прямоуго льные координаты определяются по
формулам
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (34)
Замечание. Очевидно, в качестве начала полярных координат можно
выбрать любую точку плоскости — скажем A(x
0
, y
0
). В этом случае замена
координат (34) будет иметь вид
x = x
0
+ r cos ϕ, y = y
0
+ r sin ϕ. (35)
Пример 4. В качестве примера использования полярных координат вы-
ведем уравнения кривых второго порядка в этих координатах, используя их
канонические уравнения.
Парабола. Рассмотрим канониче ское уравнение парабо лы (1) и выберем на-
чало полярных координат в фокусе параболы, т.е. положим
x =
p
2
+ r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Подставляя эти выражения в каноничес кое уравнение параболы
y
2
= 2px,
74                                     §14. Другие способы задания кривых

14.2. Полярные координаты

   До сих пор мы задавали координаты точки на плоскости, указывая её
проекции на оси абсцисс и ординат, т.е. пользовались декартовой системой
координат. Такой способ координирования позиции точки не единственный.
Другой, часто используемый, состоит в указании расстояния и направления
от некоторой фиксированной точки (начала отсчёта) до данной.
   Точнее, пусть точка A имеет прямоугольные координаты (x, y). Рассмот-
рим величины                      p
                              r = x2 + y 2                           (32)
и                    
                     
                     
                     arctg xy ,        если   x > 0,
                            y
                     arctg x + π,      если   x < 0, y   > 0,
                     
                     
                  ϕ = arctg xy − π,     если   x < 0, y   < 0,       (33)
                     
                      π
                       2,               если   x = 0, y   > 0,
                     
                     
                     
                     
                     − π ,             если   x = 0, y   < 0,
                          2
называемые полярным радиусом и полярным углом соответственно. Они од-
нозначно определяют положение точки и называются её полярными коорди-
натами. Заметим, что в начале координат полярный угол не определён и эта
точка определяется нулевым полярным радиусом. Обратно, если известны по-
лярные координаты точки, то её прямоугольные координаты определяются по
формулам
                        x = r cos ϕ,   y = r sin ϕ.                 (34)
   Замечание. Очевидно, в качестве начала полярных координат можно
выбрать любую точку плоскости — скажем A(x0, y0). В этом случае замена
координат (34) будет иметь вид
                   x = x0 + r cos ϕ,     y = y0 + r sin ϕ.           (35)
   Пример 4. В качестве примера использования полярных координат вы-
ведем уравнения кривых второго порядка в этих координатах, используя их
канонические уравнения.
Парабола. Рассмотрим каноническое уравнение параболы (1) и выберем на-
чало полярных координат в фокусе параболы, т.е. положим
                         p
                    x = + r cos ϕ,     y = r sin ϕ.
                         2
Подставляя эти выражения в каноническое уравнение параболы
                                 y 2 = 2px,

Страницы