Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§15. Оптические свойства кривых второго порядка 77
называется касательной к этой кривой в рассматриваемой точке, если урав-
нение
a
11
(v
1
t + x
0
)
2
+ 2a
12
(v
1
t + x
0
)(v
2
t + y
0
) + a
22
(v
2
t + y
0
)
2
+
+ 2b
1
(v
1
t + x
0
) + 1b
2
(v
2
t + y
0
) + c = 0, (40)
рассматриваемое как уравнение относительно неизвестной t, имеет корень
кратности два.
Пользуясь этим определением, мы можем вывести уравнение касательной.
Действительно, раскрывая скобки в уравнении (40), получаем
(a
11
v
2
1
+ 2a
12
v
1
v
2
+ a
22
v
2
2
)t
2
+
+ 2(a
11
v
1
x
0
+ a
12
(v
1
y
0
+ v
2
x
0
) + a
22
v
2
y
0
+ b
1
v
1
+ b
2
v
2
)t+
+ a
11
x
2
0
+ 2a
12
x
0
y
0
+ a
22
y
2
0
+ 2b
1
x
0
+ 2b
2
y
0
+ c =
= (a
11
v
2
1
+ 2a
12
v
1
v
2
+ a
22
v
2
2
)t
2
+ 2((a
11
x
0
+ a
12
y
0
)v
1
+ (a
12
x
0
+ a
22
y
0
)v
2
)t = 0 ,
поскольку точка (x
0
, y
0
) лежит на кривой и, значит, её координаты удовле-
творяют уравнению этой кривой. Это уравнение имее т корень t = 0, и, сле-
довательно, чтобы этот корень был кратности 2, необходимо равенство
(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ b
1
)v
1
+ (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ b
2
)v
2
= 0.
Для выполнения этого равенства достаточно положить
v
1
= a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ b
2
, v
2
= −(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ b
1
).
Таким образом,
(
x = (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ b
2
)t + x
0
,
y = −( a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ b
1
)t + y
0
(41)
— параметрическое уравнение касательной к кривой второго порядка . Если из
системы (41) исключить переменную t, то мы получим другую ф орму урав-
нения касательной:
(x − x
0
)(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ b
1
) + ( y − y
0
)(a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ b
2
) = 0, (42)
или, учитывая, что точка (x
0
, y
0
) лежит на кривой,
(a
11
x
0
+ a
12
y
0
+ b
1
)x + (a
12
x
0
+ a
22
y
0
+ b
2
)y + b
1
x
0
+ b
2
y
0
+ c = 0. (43)
В частности, для параболы, задаваемой каноническим уравнением
y
2
= 2px, параметрическое уравнение касательной, проходящей через точ-
ку (x
0
, y
0
), где y
2
0
= 2px
0
, приобретает вид x = y
0
t + x
0
, y = pt + y
0
.
Рассмотрим прямую y = c, параллельную оси параболы. Она пересекается
с параболой в точке (
c
2
2p
, c). Рассмотрим также прямую, соединяющую фокус
§15. Оптические свойства кривых второго порядка                                       77

называется касательной к этой кривой в рассматриваемой точке, если урав-
нение
 a11 (v1t + x0)2 + 2a12(v1t + x0)(v2t + y0) + a22 (v2t + y0 )2+
                                    + 2b1(v1t + x0) + 1b2(v2t + y0 ) + c = 0, (40)
рассматриваемое как уравнение относительно неизвестной t, имеет корень
кратности два.
  Пользуясь этим определением, мы можем вывести уравнение касательной.
Действительно, раскрывая скобки в уравнении (40), получаем
 (a11v12 + 2a12v1v2 + a22v22 )t2+
            + 2(a11v1x0 + a12 (v1y0 + v2x0) + a22v2 y0 + b1 v1 + b2 v2)t+
                + a11 x20 + 2a12x0y0 + a22 y02 + 2b1x0 + 2b2y0 + c =
= (a11v12 + 2a12 v1v2 + a22 v22 )t2 + 2((a11x0 + a12 y0)v1 + (a12x0 + a22 y0 )v2)t = 0,
поскольку точка (x0, y0) лежит на кривой и, значит, её координаты удовле-
творяют уравнению этой кривой. Это уравнение имеет корень t = 0, и, сле-
довательно, чтобы этот корень был кратности 2, необходимо равенство
               (a11x0 + a12 y0 + b1)v1 + (a12x0 + a22y0 + b2 )v2 = 0.
Для выполнения этого равенства достаточно положить
              v1 = a12 x0 + a22 y0 + b2 ,   v2 = −(a11x0 + a12 y0 + b1).
Таким образом,          (
                            x = (a12x0 + a22 y0 + b2)t + x0,
                                                                                    (41)
                            y = −(a11 x0 + a12 y0 + b1 )t + y0
— параметрическое уравнение касательной к кривой второго порядка. Если из
системы (41) исключить переменную t, то мы получим другую форму урав-
нения касательной:
         (x − x0)(a11x0 + a12y0 + b1 ) + (y − y0 )(a12x0 + a22 y0 + b2) = 0,        (42)
или, учитывая, что точка (x0, y0) лежит на кривой,
     (a11x0 + a12 y0 + b1)x + (a12x0 + a22y0 + b2 )y + b1x0 + b2y0 + c = 0.         (43)
   В частности, для параболы, задаваемой каноническим уравнением
 2
y = 2px, параметрическое уравнение касательной, проходящей через точ-
ку (x0, y0), где y02 = 2px0, приобретает вид x = y0 t + x0, y = pt + y0 .
   Рассмотрим прямую y = c, параллельную оси параболы. Она пересекается
                         c2
с параболой в точке ( 2p    , c). Рассмотрим также прямую, соединяющую фокус

Страницы