ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§16. Образцы решения задач 81
Отсюда следует, что старые координаты (x, y) выражаются через но-
вые (x
1
, y
1
) посредством равенств
x =
2
√
5
5
x
1
+
√
5
5
y
1
, y =
√
5
5
x
1
−
2
√
5
5
y
1
.
Подставляя эти выражения в исходное уравне ние кривой (44), получим её
уравнение в новом базисе в виде
3x
2
1
− 2y
2
1
+ 2
√
5 x
1
− 2
√
5 y
1
+ 7 = 0.
Преобразуем последнее равенство, выделяя полные квадраты:
3
x
2
1
+ 2
√
5
3
x
1
+
5
9
− 2
y
2
1
+ 2
√
5
2
y
1
+
5
4
−
5
3
+
5
2
+ 7 = 0,
или
3
x
1
+
√
5
3
2
− 2
y
1
+
√
5
2
2
+
26
3
= 0.
Полагая
x
2
= y
1
+
√
5
2
, y
2
= x
1
+
√
5
3
,
мы приходим к каноническому уравнению
x
2
2
q
13
3
2
−
y
2
2
q
26
9
2
= 1.
Это — уравнение кривой (44) в базисе из векторов (45), приложенных к точ-
ке (−
√
5
2
, −
√
5
3
).
Ответ: каноническое уравнение —
x
2
2
√
13
3
2
−
y
2
2
√
26
9
2
= 1, канонический
базис — f
1
= (
2
√
5
5
,
√
5
5
), f
2
= (
√
5
5
, −
2
√
5
5
), приложенный к точке (−
√
5
2
, −
√
5
3
).
Задача 4. Определить з начения параметра α, при которых кривая, зада-
ваемая уравнением
2x
2
− αxy + 3y
2
+ 4y + 2 = 0,
является эллипсом.
Решение. Рассмотрим инварианты эт о й кривой:
∆
A
=
2 −
α
2
−
α
2
3
= 6 −
α
2
4
, ∆
B
=
2 −
α
2
0
−
α
2
3 2
0 2 2
= 4 −
α
2
2
, tr A = 2 + 3 = 6.
Поскольку эллипс определяется условиями
∆
A
> 0, tr A · ∆
B
< 0,
§16. Образцы решения задач 81
Отсюда следует, что старые координаты (x, y) выражаются через но-
вые (x1, y1) посредством равенств
√ √ √ √
2 5 5 5 2 5
x= x1 + y1 , y= x1 − y1.
5 5 5 5
Подставляя эти выражения в исходное уравнение кривой (44), получим её
уравнение в новом базисе в виде
√ √
3x21 − 2y12 + 2 5 x1 − 2 5 y1 + 7 = 0.
Преобразуем последнее равенство, выделяя полные квадраты:
√ √
2 5 5 2 5 5 5 5
3 x1 + 2 x1 + − 2 y1 + 2 y1 + − + + 7 = 0,
3 9 2 4 3 2
или √ √
5 2 5 2 26
3 x1 + − 2 y1 + + = 0.
3 2 3
Полагая √ √
5 5
x2 = y1 + , y2 = x1 + ,
2 3
мы приходим к каноническому уравнению
x22 y22
q 2 − q 2 = 1.
13 26
3 9
Это —√уравнение
√
кривой (44) в базисе из векторов (45), приложенных к точ-
ке (− 25 , − 35 ).
2 2
Ответ: каноническое уравнение — √x132 2 − √y262 2 = 1, канонический
3 9
√ √ √ √ √ √
базис — f1 = 2 5
( 5 , 55 ), f2 = 5 2 5
( 5 , − 5 ), приложенный к точке (− 2 , − 35 ).
5
Задача 4. Определить значения параметра α, при которых кривая, зада-
ваемая уравнением
2x2 − αxy + 3y 2 + 4y + 2 = 0,
является эллипсом.
Решение. Рассмотрим инварианты этой кривой:
2 − α2 0
2 − α2 α2 α α2
∆A = = 6 − , ∆B = − 2 3 2 = 4 − , tr A = 2 + 3 = 6.
− α2 3 4 2
0 2 2
Поскольку эллипс определяется условиями
∆A > 0, tr A · ∆B < 0,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- …
- следующая ›
- последняя »
