Математика. Часть 1. Алгебра и аналитическая геометрия. Красильщик И.С - 87 стр.

86                                   §18. Основные определения и примеры

Легко проверить, что относительно введённой операции Σ2 является группой,
                                             −1
единицей которой служит отображение σ12, и σ21  = σ21.
   Точно так же можно рассмотреть множество N3 = {1, 2, 3} и всевозможные
взаимно однозначные отображения этого множества в себя. Их будет шесть:
                                               
                    
                     1 → 1,      
                                   1 → 1,       1 → 2,
                                                 
              σ123 : 2 → 2, σ132 : 2 → 3, σ213 : 2 → 1,
                    
                                 
                                                
                                                 
                      3 → 3,        3 → 2,         3 → 3,
                                               
                    1 → 2,
                                 1 → 3,
                                                1 → 3,
                                                 
              σ231 : 2 → 3, σ312 : 2 → 1, σ321 : 2 → 2,
                    
                    3 → 1,       
                                  3 → 2,        
                                                 3 → 1.

Вновь взяв за групповую операцию композицию отображений, мы получим
следующую таблицу «умножения»:
                    ◦ σ123 σ132 σ213 σ231 σ312 σ321
                   σ123 σ123 σ132 σ213 σ231 σ312 σ321
                   σ132 σ132 σ123 σ231 σ213 σ321 σ312
                   σ213 σ213 σ312 σ123 σ321 σ132 σ231
                   σ231 σ231 σ321 σ132 σ312 σ123 σ213
                   σ312 σ312 σ213 σ321 σ123 σ231 σ132
                   σ321 σ321 σ231 σ312 σ132 σ213 σ123
Эта таблица тоже задаёт группу, обозначаемую через Σ3. Эта группа не ком-
мутативна.
   Вообще, рассмотрев множество Nk = {1, 2, . . . , k} и все его взаимно одно-
значные отображения в себя, мы получим группу Σk , называемую группой
подстановок порядка k; она содержит k! элементов. Если в Σk рассмотреть
такие подстановки σ, что σ(k) = k, то они образуют подгруппу, изоморф-
ную Σk−1.
   Пример 7. Множество GL(n) всех невырожденных (т.е. обратимых) мат-
риц размера n × n является группой по отношению к произведению мат-
риц, называемой полной линейной группой (обратите внимание на то, что
в GL(n) матрицы можно перемножать, но нельзя складывать). Отображе-
ние ∆ : GL(n) → R \ {0}, сопоставляющее каждой матрице её определитель,
является эпиморфизмом полной линейной группы в группу ненулевых дей-
ствительных чисел.
   Матрицы с положительным определителем образуют подгруппу полной
линейной группы. Матрицы, чей определитель равен 1, также образуют под-
группу в GL(n), обозначаемую через SL(n).