Составители:
Рубрика:
45
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ПЕРВОГО СЕМЕСТРА
Аналитическая геометрия на плоскости
1. Метод координат как взаимно однозначное соответствие меж-
ду точкой на плоскости и упорядоченной парой вещественных чисел.
Декартова система координат и декартовы координаты точек. Коорди-
натная сетка прямоугольной системы координат.
2. Основные задачи на координаты точек: 1) расстояние между
двумя точками; 2) деление отрезка в данном отношении и, в частности,
пополам.
3. Линия как геометрическое место точек, обладающих каким-
либо определенным свойством. Уравнение линии как связь между ко-
ординатами произвольной ее точки, выраженная аналитически. Окруж-
ность и ее уравнение.
4. Прямая линия. Общее уравнение прямой. Взаимно однознач-
ное соответствие между уравнением первой степени с двумя перемен-
ными
0=++ CByAx
и прямой линией. Вертикальные и наклонные
прямые. Уравнение наклонной прямой в форме с угловым коэффици-
ентом.
5. Основные задачи на прямую линию:
1) определение угла между прямыми, условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых;
2) нахождение точки пересечения двух прямых;
3) пучок прямых и его уравнение;
4) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
6. Эллипс. Выбор системы координат и вывод eгo канонического
уравнения. Свойства симметрии эллипса, исследование его формы по
его уравнению. Полуоси эллипса, связь между длинами полуосей
и полуфокусным расстоянием. Эксцентриситет и влияние его измене-
ния на форму эллипса. Окружность как частный случай эллипса.
7. Гипербола. Выбор системы координат и вывод ее канониче-
ского уравнения. Свойства симметрии гиперболы, исследование ее фор-
мы по ее уравнению. Асимптоты гиперболы, ее характеристический
прямоугольник. Связь между длинами полуосей и полуфокусным рас-
стоянием. Эксцентриситет и влияние его изменения на форму гипер-
болы. Равнобочная гипербола, взаимная перпендикулярность ее асим-
птот. Сопряженная гипербола.
8. Парабола. Выбор системы координат и вывод ее каноническо-
го уравнения (например, уравнения
pxy 2
2
=
). Свойства симметрии
параболы, исследование ее формы по ее уравнению. Геометрический
смысл параметра р в каноническом уравнении параболы и влияние его
изменения на форму параболы. Каноническое уравнение параболы,
осью симметрии которой является:
1) отрицательная полуось абсцисс (
pxy 2
2
−=
);
2) положительная полуось ординат (
pyx 2
2
=
);
3) отрицательная полуось ординат (
pyx 2
2
−=
).
9. Преобразование декартовых координат при параллельном пе-
реносе осей. Формулы прямого и обратного перехода.
10. Преобразование уравнений второго порядка при параллель-
ном переносе осей координат. Уравнения эллипса и гиперболы со сме-
щенными центрами при условии параллельности их осей осям коор-
динат; уравнение параболы со смещенной вершиной при условии па-
раллельности ее оси симметрии одной из осей координат.
11. Геометрический смысл уравнения второго порядка
022
22
=++++ FEyDxCyAx
.
Определение геометрических образов, соответствующих этому
уравнению, путем преобразования его к каноническому виду методом
выделения полных квадратов и последующего параллельного перено-
са координатных осей.
12.Полярная система координат и полярные координаты точки.
Координатная сетка полярной системы. Связь декартовых и полярных
координат точки и ее зависимость от способа совмещения декартовой
и полярной систем координат. Уравнение линии в полярной системе.
Лемниската Бернулли, ее декартово и полярное уравнения, исследова-
ние ее формы по ее уравнению. Построение кривой, заданной уравне-
нием, в полярной системе координат (на примерах спирали Архимеда
ϕ=ρ a
, улитки Паскаля
ϕ−=ρ cosab
, кардиоиды
)cos1( ϕ+=ρ a
).
