Эконометрика. Кравченко А.А. - 3 стр.

                Глава 1. Парная регрессия и корреляция

                      1.1. Теоретические основы
    Парной регрессией называется уравнение связи двух переменных y и х:
                                 y = f (x) ,
где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая,
объясняющая переменная (факторный признак). По форме связи регрессии
делятся на линейные и нелинейные, а по числу входящих переменных – на
парные и множественные.
    В случае парной линейной регрессии рассматривается простейшая
модель
                               ~y = ax + b
                                             ,
где a, b - коэффициенты (параметры) регрессии. Для оценки этих
коэффициентов пользуются самым популярным в эконометрике методом
наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в минимизации суммы
квадратов остатков:
                     n       n                       n
                S = ∑ e i2 = ∑ (y i − ~y i ) = ∑ (y i − ax i − b ) → min
                                               2                       2

                    i =1    i =1                   ,i =1
                                                                           ~y
где y - фактическое значение результативного признака;                        - значение
результативного признака, полученное путем подстановки                     в уравнение
регрессии факторного признака.
    Искомые коэффициенты являются решением системы                         нормальных
уравнений:
                      ∂S
                      ∂a = −2(∑ y i − ∑ ax i −∑ b ) = 0,
                      
                       ∂S = −2 ∑ y x − ∑ ax 2 −∑ bx = 0,
                                   (                               )
                       ∂b
                                    i i         i        i


деля каждое уравнение на (− 2n ) и переходя к средним, получим систему двух
линейных уравнений с двумя неизвестными:
                                        y − a x − b = 0,
                                        
                                         yx − a x 2 − b x = 0.
Выразим из системы двух уравнений с двумя неизвестными параметры a и b.
Из первого уравнения
                                            b = y − ax .
Подставив выражение для b во второе уравнение системы и выразив a,
получим следующую формулу:
                                               xy − y ⋅ x
                                          a=               2
                                                x2 − x         .
    Пусть получено следующее уравнение регрессии ~y = ax + b , где x и y –
переменные с простыми естественными единицами измерения. Тогда:
увеличение x на 1 единицу (в единицах измерения x) приведет к увеличению
значения y на a единиц (в единицах измерения y).