Эконометрика. Кравченко А.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим подробнее зависимости
x
b
ay +=
и
b
axy =
. Графически эти
зависимости имеют вид, показанный на рисунке:
1.
x
b
ay +=
- это обратная зависимость между x и y. Это регрессия на
основе гиперболы. Выведем оценки коэффициентов. Составляем функцию
суммы квадратов остатков.
()
∑∑ ∑
== =
=
−−=−==+++=
n
i
n
i
n
i
in
x
b
ayyyeeeeS
11 1
2
2
222
2
2
1
~
...
∑
=
→
+−−++=
n
i
x
b
a
x
b
yya
x
b
ay
1
2
2
22
min222
.
Для определения параметров a и b необходимо решить систему нормальных
уравнений:
=
∂
∂
=
∂
∂
.0
,0
b
S
a
S
=+−=
∂
∂
=+−=
∂
∂
∑∑∑
∑∑
===
==
.0
1
22
1
2
,0
1
222
111
2
11
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
x
a
x
y
x
b
b
S
x
byan
a
S
Деля уравнение на 2n, получим:
=
+
−
=
+−
.0
11
,0
1
2
x
a
x
y
x
b
x
bya
Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим
x
y
0
y
=
a
+
b
/x
x
y
0
y
=
a
x
b 
                 y                                                y


                                                                                     b
                                                                               y=a x

                                        y=a +b/x



                 0                                       x        0                          x




                                                                        b
                                                                 y=a+
                                                                        x и y = ax . Графически эти
                                                                                  b
    Рассмотрим подробнее зависимости
зависимости имеют вид, показанный на рисунке:

                     b
         y=a+
    1.               x - это обратная зависимость между x и y. Это регрессия на
основе гиперболы. Выведем оценки коэффициентов. Составляем функцию
суммы квадратов остатков.
                                                                                         2
                                                     n       n          n
                                                                                 b
                        S = e + e + ... + e = ∑ e = ∑ ( y − ~   y ) = ∑ y − a −  =
                              2    2         2           2         2
                              1    2         n           i
                                                i =1    i =1          i =1       x
                                  n
                                               b  2
                                                               b      b
                              = ∑  y 2 + a 2 + 2 − 2 ya − 2 y + 2a  → min
                                i =1           x              x      x        .
Для определения параметров a и b необходимо решить систему нормальных
уравнений:
     ∂S
     ∂a     = 0,
     
      ∂S     = 0.
      ∂b
       ∂S               n          n
                                          1
       ∂a    = 2an − 2∑ y + 2b∑            =0,
                        i =1        i =1 x
      
       ∂S
                    n           n             n
                       1           y             1
              = 2b∑ 2 − 2∑ + 2a ∑ =0.
       ∂b       i =1 x      i =1 x        i =1 x

    Деля уравнение на 2n, получим:
                 1
    a − y + b  = 0,
                  x
    
    b 1  −  y  + a 1  = 0.
      x 2   x   x 
    Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим

Страницы