ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
99
приходится искать решение (57) относительно у
ί+1
с помощью итерациональ-
ных методов.
Простейшим одношаговым численным методом решения задачи Коши яв-
ляется метод Эйлера.
Он основан на разложении искомой функции Y(х) в ряд Тейлора в окрест-
ностях узлов х = х
ί
(ί = 0, 1, …), в котором отрабатываются все члены, содер-
жащие производные второго и более высоких порядков.
Запишем это разложение в виде
Y(х
ί
+ ∆х
ί
) = Y(х
ί
) + Y'(х
ί
)∆х
ί
+ O(∆х
ί
2
). (59)
Заменим значение функции Y в узлах х
ί
значениями сеточной функции у
ί
.
Кроме этого, согласно (55), имеем
Y'(х
ί
) = f (х
ί
,Y(х
ί
)) = f (х
ί
, у
ί
).
Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т. е. ∆х
ί
= х
ί+1
– х
ί
= h =
= const (ί = 0, 1, …).
Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка О (h
2
),
из равенства (59) получим
у
i+1
= у
ί
+ hf(х
0
, у
0
), ί = 0, 1, …. (60)
Полагая ί = 0, с помощью (60) найдем значение сеточной функции у
1
при х = x
1
у
1
= y
0
+ hf(х
0
, у
0
).
При этом значение у
0
задано начальным условием (56), т. е. у
0
= Y(х
0
) = Y
0
.
Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других уз-
лах:
у
2
= у
1
+ hf(х
1
, у
1
);
----------------------------- ;
у
n
= у
n-1
+ hf(х
n-1
, у
n-1
).
Разностная схема этого метода представлена соотношениями (60). Они
имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной
функции у
i+1
в любом узле х
ί+1
вычисляется по ее значению у
ί
в предыдущем
узле х
ί
. В связи с этим метод Эйлера и относится к одношаговым методам.
Рассмотрим алгоритм метода Эйлера (рис. 6.4). На первом этапе задают на-
чальные значения х, у
0
, а также величины шага h и количество расчетных точек n.
Решение получают в узлах х + h; х + 2h; …, х + nh.
Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге.
Если найденное значение необходимо хранить в памяти машины, то вводят
массив значений у
0
, у
1
, … у
n
.
Поясним сущность метода Эйлера геометрически (рис. 6.5).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- …
- следующая ›
- последняя »
