ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
98
изводных используются соответствующие конечно-разностные соотношения
(см. раздел «численное дифференцирование»).
Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его
аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией).
Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к оты-
сканию значений сеточной функции в узлах сетки.
6.4.1. Решение задачи Коши
Решим задачу Коши при помощи разностной схемы.
Пусть требуется найти функцию Y = Y(х), удовлетворяющую уравнению
dY/dх = f(х,Y) (55)
и принимающую при х = х
0
заданное значение Y
0
:
Y(х
0
) = Y
0
. (56)
При этом решение нужно получить для значения х > х
0 .
Введем последовательность точек х
0
, х
1
, … и шаги h
ί
= х
ί+1
– x
ί
(ί= 0, 1, …).
В каждой точке х
i
, называемой узлом, вместо значений функции Y(х
i
) вво-
дятся числа у
i
, аппроксимирующие точное решение Y на данном множестве то-
чек.
Функцию у, заданную в виде таблицы {х
ί
, у
ί
} (ί = 0, 1, …), называют се-
точной функцией.
Заменяя значение производной в уравнении (55) отношением конечных
разностей, осуществим переход от дифференциальной задачи (55) и (56) отно-
сительно функции Y к разностной задаче относительно сеточной функции у:
y
ί+1
= F (x
ί
, h
ί
, у
ί+1
, у
ί
, …, у
ί-k+1
); (57)
y
0
= Y
0
. (58)
Разностное уравнение (57) записано в общем виде, т. к. конкретное выра-
жение его правой части зависит от способа аппроксимации производной и для
каждого численного метода получается свой вид уравнения (57).
Если в правой части уравнения (57) отсутствует у
ί+1
, т. е. значение у явно
вычисляется по k-предыдущим значениям у
ί
, у
ί-1
, …, у
ί-k+1
, то разностная схема
называется явной.
При этом получается k-шаговый метод: k = 1 – одношаговый, k = 2 –
двухшаговый и т. д., т. е. в одношаговых методах для вычисления у
ί+1
использу-
ется лишь одно ранее найденное значение на предыдущем шаге у
ί
, в многоша-
говых – многие из них.
Если в правую часть уравнения (57) входит искомое значение у
ί+1
, то ре-
шение этого уравнения усложняется. В таких методах, называемых неявными,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
