Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

96
В ряде случаев из формулы (51) можно выделить старшую производную в
явном виде:
y' = f ( x, y ) ; y
′′
= f ( x, y, y' ). (52)
Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относитель-
но старшей производной.
Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение, линейное от-
носительно искомой функции и ее производных:
y' – x
2
y = sin
3
x – линейное уравнение 1-го порядка.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция
у = φ(х), которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество.
Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит
n произвольных постоянных C
1
, C
2
, …, C
n
, т. е. имеет вид
у = φ(х, C
1
, C
2
, …, C
n
). (53)
Частное решение дифференциальных уравнений получается из общего,
если произвольным постоянным придать определенное значение. Для уравне-
ния 1-го порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:
у = f ( х, C ). (54)
Если постоянная принимает определенное значение С = С
0
, то частное ре-
шение примет вид
у = (х, C
0
).
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения 1-го
порядка (49) заключается в следующем.
Так как производная у' характеризует наклон касательной к интегральной
кривой в данной точке, то при у'
= k = const из формулы (52) получим f(х, у) = k –
уравнение линии постоянного наклона – изоклины. Меняя k, получаем семей-
ство изоклин.
Геометрической интерпретацией общего решения уравнения 1-го по-
рядка (51) является бесконечное семейство интегральных кривых с параметром
С, а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства.
В качестве дополнительных условий для обыкновенных дифференци-
альных уравнений могут задаваться значения искомой функции и ее произ-
водных при некоторых значениях независимой переменной, т. е. в некоторых
точках.
В зависимости от способа задания дополнительных условий для полу-
чения частного решения дифференциального уравнения существуют два
различных типа задач: задача Коши и краевая задача.
Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется зада-
чей Коши. При этом дополнительные условия называются начальными усло-
виями, а точка х = х
0
, в которой они задаются – начальной точкой.

Страницы