ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
97
Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т. е.
при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется
краевой. Здесь сами дополнительные условия называются граничными (или
краевыми).
Обычно граничные условия задаются в двух точках х = а и х = в, являю-
щихся границами области решения дифференциального уравнения.
Пример задачи Коши:
tcosx
dt
dx
2
= ; t > 0; x(0) = 1.
у'' = у'/х + х
2
, х > 1; у(1) = 2; у'(1) = 0.
Пример краевой задачи:
у'' + 2у' – у = sin х; 0 ≤ х ≤ 1; у(0) = 1; у(1) = 0.
у''' = х + уу'; 1 ≤ х ≤ 3; у(1) = 0; у'(1) = 1; у'(3) = 2.
6.4. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения можно решить графиче-
скими, аналитическими, приближенными и численными методами
Графические методы используют геометрические построения. Например,
метод изоклин определяет интегральные кривые по заранее построенному по-
лю направлений, определенному изоклинами.
Аналитическими методами удается получить решения в виде формул пу-
тем аналитических преобразований.
В приближенных методах сами дифференциальные уравнения упроща-
ются путем обоснованного отбрасывания некоторых его членов, а также специ-
альным выборам классов искомых функций.
Наиболее эффективными являются численные методы решения диффе-
ренциальных уравнений, самым распространенным и универсальным из кото-
рых является метод конечных разностей.
Его сущность состоит в следующем.
Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменя-
ется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют
разностную сетку.
Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функ-
цией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточ-
ной.
Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнени-
ем относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение про-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
