ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
106
dx)(x Pyy
1i
i
x
x
1-k1i
∫
+
+=
ι+
. (66)
На
основе
этой
формулы
можно
строить
различные
многошаговые
методы
любого
порядка
точности
.
Порядок
точности
зависит
от
степени
интерполяции
многочлена
Р
k-1
(x),
для
построения
которого
используются
значения
сеточной
функции
у
ί
,
у
ί-1
, …,
у
ί-k+1
,
вычисленные
на
k-
предыдущих
шагах
.
Широко
распространенным
семейством
многошаговых
методов
являются
методы Адамса.
Простейший
из
них
,
получающийся
при
k = 1,
совпадает
с
методом
Эйлера
первого
порядка
точности
.
На
практике
чаще
всего
используют
вариант
метода
Адамса
,
имеющий
четвертый
порядок
точности
и
использующий
на
каждом
шаге
результаты
пре
-
дыдущих
четырех
шагов
.
Он
,
собственно
,
и
называется
методом Адамса
.
Пусть
найдены
значения
у
ί-3
,
у
ί-2
,
у
ί-1
и
у
ί
,
в
четырех
последовательных
уз
-
лах
(k = 4).
При
этом
имеются
также
вычисленные
ранее
значения
правой
части
f
ί-3
, f
ί-2
, f
ί-1
, f
ί
.
В
качестве
интерполяционного
многочлена
Р
3
(
х
)
можно
взять
многочлен
Ньютона
.
В
случае
постоянного
шага
h
конечные
разности
для
правой
части
в
узле
х
ί
имеют
вид
:
∆
f
ί
= f
ί
– f
ί-1
;
∆
2
f
ί
= f
ί
– 2f
ί-1
+ f
ί-2 ;
∆
3
f
ί
= f
ί
– 3f
ί-1
+ 3f
ί-2
– f
ί-3 .
Тогда
разностная схема 4 порядка метода Адамса
запишется
в
виде
:
y
ί+1
= y
ί
+ hf
ί
+
2
h
2
∆f
ί
+
12
5h
3
∆
2
f
ί
+
8
3h
4
∆
3
f
ί
. (67)
По сравнению с методом Рунге-Кутта метод Адамса экономичнее, т. к. он
требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (ме-
тод Рунге-Кутта – четырех).
Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет по одному
лишь известному значению у
0
. Расчет может быть начат только с узла х
3
.
При этом значения у
1
, у
2
, у
3
, необходимые для вычисления у
3
, нужно полу-
чить каким-либо другим способом (например, методом Рунге-Кутта), что суще-
ственно усложняет алгоритм.
Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изме-
нить шаг h в процессе счета. Этого недостатка лишены одношаговые методы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- …
- следующая ›
- последняя »
