Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

107
6.4.2. Решение краевых задач
Ранее рассматривались задачи с начальными условиями, т. е. с условиями в
одной (начальной) точке: при х = х
0
, t = 0 и т. п.
На практике часто приходится решать такие задачи, в которых условия за-
даются при двух значениях независимой переменной (на концах рассматривае-
мого отрезка). Такие задачи, называемые краевыми, получаются при решении
уравнений высших порядков или систем уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 2 порядка:
Y'' + ρ(x)Y' + g(x)Y = f(x). (68)
Краевая задача состоит в отыскании решения Y=Y(х) уравнения (68) на от-
резке [а, в], удовлетворяющего на концах отрезка условиям:
Y(а) = А, Y(в) = В. (69)
Граничные условия могут быть заданы не только в частном виде (69), но и
в более общем виде:
α
1
Y(a) + β
1
Y'(a) = A;
α
ί
Y(b) + β
ί
Y'(b) = B. (70)
Краевые задачи можно решить аналитическими, приближенными и чис-
ленными методами.
Аналитические методы изучаются в курсе дифференциальных уравнений и
обычно применяются в исследовании различных физических процессов (теории
колебаний, динамике твердого тела и т. п.).
Приближенные методы появились задолго до ЭВМ. К ним относится ме-
тод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод Галёркина и т. д.
При приближенном решении (68) и (70) выбирается некоторая линейно не-
зависимая (базисная) система дважды дифференцируемых функций φ
0
(x), φ
1
(x),
…, φ
n
(x).
При этом φ
0
(x) удовлетворяет граничным условиям (69), а φ
1
(x),…, φ
n
(x) –
соответствующим однородным граничным условиям.
Искомое решение представляется в виде линейной комбинации базисных
функций:
y(x) = φ
0
(x) + α
1
φ
1
(x) + α
2
φ
2
(x) + … α
n
φ
n
(x). (71)
Подставляя это выражение в уравнение (68), можно найти разность между
его левой и правой частями, которая называется невязкой. Она является функ-
цией, зависимой от переменной х и параметров а
1
, а
2
, …, а
n
и имеет вид:
Ψ(x, a
1
, a
2
, …, a
n
) = Y'' + ρxY' + q(x)Y – f(x). (72)
Коэффициенты а
1
, а
2
, …, а
n
стараются подобрать так, чтобы невязка была
минимальной. Способ определения этих коэффициентов и характеризует тот
или иной приближенный метод.

Страницы