ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
108
В методе коллокаций выбирается n – точек х = х
ί
(i = 1, 2, …, n, x
ί
∈
[a, b]),
называемых точками коллокации, невязка (72) в которых приравнивается нулю.
Получается система n – линейных алгебраических уравнений относительно а
1
,
а
2
, …, а
n
, решая которую можно найти эти коэффициенты и подставить их в
(71).
Метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы квадра-
тов невязок в заданной системе точек х
1
, х
2
, … , х
n
. Из этих условий также по-
лучается система линейных алгебраических уравнений относительно а
1
, а
2
,… ,
а
n
.
В основе метода Галёркина лежит требование ортогональности базисных
функций φ
0
(x), φ
1
(x), …, φ
n
(x) к невязке ψ(x, a
1
, …, a
n
) , которое выражается в
виде:
∫
β
α
ψ(x, a
1
, …, a
n
)ψ
ί
(x) = 0, ί = 1, 2, …, n .
Из этих условий также получается система линейных алгебраических урав-
нений относительно коэффициентов линейного соотношения (71).
Численные методы позволяют свести решение краевой задачи к последо-
вательности решений задач Коши и непосредственно применению конечно-
разностных методов. К ним относятся метод стрельбы, метод конечных разно-
стей и т. п.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения 2 порядка, разрешенного отно-
сительно 2 производной:
Y'' = f(х, Y, Y'). (73)
Найдем решение y = y(х) этого уравнения на отрезке [0, 1].
Граничные условия возьмем из (69):
Y(0) = у
0
; Y(1) = у
1
. (74)
Сущность метода стрельбы заключается в сведении решения краевой за-
дачи (73), (74) к решению задач Коши для того же уравнения (73) с начальными
условиями:
Y(0) = у
0
; Y'(0) = k = tgα. (75)
Поясним идею метода стрельбы геометрически (рис. 6.8).
Здесь у
0
– точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой ин-
тегральной кривой; α – угол наклона касательной к интегральной кривой в этой
точке.
Считая решение задачи Коши Y = Y(х, α) зависящим от параметра α, будем
искать такую интегральную кривую Y = Y(х, α
*
), которая выходит из точки
(0, у
0
) и попадает в точку (1, у
1
).
Таким образом, если α = α
*
, то решение Y(х, α) задачи Коши совпадает с
решением Y(х) краевой задачи.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
