ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
87
6.2. Определение погрешности численного дифференцирования
Определим
погрешность
численного
дифференцирования
при
помощи
ап
-
проксимации
производных
по
формуле
(27).
Аппроксимируем
функцию
)
x
(
f
некоторой
функцией
)
x
(
ϕ
,
т
.
е
.
предста
-
вим
ее
в
виде
:
)
x
(
R
)
x
(
)
x
(
f
+
ϕ
=
. (34)
Дифференцируя
выражение
(34)
необходимое
число
раз
,
можно
найти
зна
-
чения
производных
)x(f
′
,
)x(f
′
′
, …:
)x(R)x()x(f
′
+
ϕ
′
=
′
,
)x(R)x()x(f
′
′
+
ϕ
′
′
=
′
′
, ….
В
качестве
приближенного
значения
производной
порядка
k
функции
)
x
(
f
можно
принять
соответствующее
значение
производной
функции
)
x
(
ϕ
,
т
.
е
.
)x()x(f
)k()k(
ϕ≈
.
Величина
)x()x(f)x(R
)k()k()k(
ϕ−=
,
характеризующая
отклонение
при
-
ближенного
значения
производной
от
ее
истинного
значения
,
называется
по-
грешностью аппроксимации производной
.
При
численном
дифференцировании
функции
,
заданной
в
виде
таблицы
с
шагом
h
,
эта
погрешность
зависит
от
h
и
ее
записывают
в
виде
:
(
)
k
h0 :
)h(0)x(R
k)k(
⇔
.
Показатель
степени
k
называется
порядком погрешности аппроксима-
ции производной (или порядком аппроксимации)
.
При
этом
обычно
принимают
,
что
значение
шага
по
модулю
меньше
1:
1h
<
.
Оценку
погрешности
можно
найти
с
помощью
ряда
Тэйлора
:
.....x
!
3
)x(f
x
!
2
)x(f
x)x(f)x(f)xx(f
32
+∆
′
′
′
+∆
′
′
+∆
′
+=∆+
.
Пусть
функция
)
x
(
f
задана
в
виде
таблицы
ii
y)x(f
=
(
=
i
1, 2, … ,
n
).
Запишем
ряд
Тэйлора
при
1
xx
=
,
h
x
−
=
∆
с
точностью
до
членов
порядка
n
:
)h(0hyyy
2
110
+
′
−= .
Отсюда
найдем
значение
производной
в
точке
1
xx
=
:
)h(0
h
yy
y
01
1
+
−
=
′
.
Это
выражение
совпадает
с
формулой
(28),
которая
является
аппроксима
-
цией
первого
порядка
(
1
k
=
).
Записывая
ряд
Тэйлора
при
h
x
=
∆
,
можно
получить
аппроксимацию
зави
-
симости
(30),
имеющую
тоже
первый
порядок
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- …
- следующая ›
- последняя »
