ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
88
Используем
ряд
Тэйлора
для
оценки
погрешностей
аппроксимации
формул
(29)
и
(31) .
Полагая
h
x
=
∆
и
h
x
−
=
∆
,
получим
:
)h(0h
!
3
y
h
!
2
y
hyyy
43
3
2
2
112
+
′
′
′
+
′
′
+
′
+=
;
(35)
)h(0h
!
3
y
h
!
2
y
hyyy
43
3
2
2
110
+
′
′
′
−
′
′
+
′
−=
.
Вычитая
эти
равенства
одно
из
другого
и
преобразуя
разность
,
получим
:
)h(0
h
2
yy
y
2
02
1
+
−
=
′
.
Следовательно
,
аппроксимация
производной
по
формуле
(29)
с
помощью
центральных
разностей
,
имеет
второй
порядок
.
Складывая
равенства
(35),
найдем
оценку
погрешности
аппроксимации
производной
2-
ого
порядка
вида
(31):
)h(0
h
yy2y
y
2
2
210
+
+
−
=
′′
.
Эта
аппроксимация
также
имеет
2
порядок
.
Аналогично
можно
получить
аппроксимацию
производных
более
высоких
порядков
,
оценив
их
погрешности
.
Погрешность
)h(0)x(R
kk
=
зависит от нескольких факторов:
1.
Погрешности
уточнения
,
определяемой
величиной
остаточного
члена
.
При
уменьшении
шага
h
она
уменьшается
.
2.
Неточных
значений
функции
i
y
в
узлах
.
3.
Погрешности
округлений
при
проведении
расчетов
на
ЭВМ
.
В
отличие
от
погрешности
аппроксимации
погрешность
округления
возрастает
с
умень
-
шением
шага
h
.
Поэтому
суммарная погрешность численного дифференцирования
)x(R
)k(
может
убывать
при
уменьшении
шага
лишь
до
некоторого
предельного
значения
,
после
чего
дальнейшее
уменьшение
шага
не
повысит
точность
результата
.
Оптимальная
точность
может
быть
достигнута
за
счет
регуляризации чис-
ленного дифференцирования
.
Регуляризация
–
это
отклонение
допустимых
решений
задачи
с
целью
обеспечить
их
устойчивость
при
малых
изменениях
исходных
параметров
.
Простейшим способом регуляризации
является
такой
выбор
шага
h
,
при
котором
справедливо
неравенство
ε
>
−
+
)x(f)hx(f ,
где
0
>
ε
–
некоторое
ма
-
лое
число
.
При
вычислении
производной
это
исключает
вычитание
близких
по
величине
чисел
,
которое
приводит
к
увеличению
погрешности
.
Что
усугубляет
-
ся
последующим
делением
приращения
функции
на
малое
число
h
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
