Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

90
∑
=
+−
+−
−−−−
−−−−
=
n
0i
ni1ii1ii0i
n1i1i0
i
)xx)...(xx)(xx)...(xx(
)xx)...(xx)(xx)...(xx(
y)x(L
. (39)
Тогда для трех узлов интерполяции (
n
= 2;
i
= 0, 1, 2, ) имеем:
=
−−
−
−
+
−−
−
−
+
−−
−
−
==
)xx)(xx(
)xx)(xx(
y
)xx)(xx(
)xx)(xx(
y
)xx)(xx(
)xx)(xx(
y)x(Ly
1202
10
2
2101
20
1
2010
21
0
=−−+−−−−−= )xx)(xx(
h
2
y
)xx)(xx(
h
y
)xx)(xx(
h
2
y
10
2
2
20
2
1
21
2
0
[ ]
)xx)(xx(y)xx)(xx(y2)xx)(xx(y
h
2
1
102201210
2
−−+−−−−−= .
Остаточный член: )xx)(xx)(xx(
!
3
y
)x(R
210
*
L
−−−
′
′
′
= .
Производная
(
)
xL
′
равна:
[ ]
)xxx2(y)xxx2(y2)xxx2(y
h
2
1
)x(L
102201210
2
−−+−−−−−=
′
; (40)
[ ]
)xx)(xx()xx)(xx()xx)(xx(
!
3
y
)x(R
102021
*
L
−−+−−+−−
′
′
′
=
′
.
Здесь
*
y
′
′
′
– значение производной 3 порядка в некоторой внутренней точ-
ке
]x,x[x
n0*
.
Тогда для производной
0
y
′
при
0
xx
=
*
2
210L00
y
3
h
)yy4y3(
h
2
1
)x(R)x(Ly
′′′
+−+−=
′
+
′
=
′
. (41)
Аналогичные соотношения можно получить и для значений
1
y
′
и
2
y
′
при
2
xx
=
и
1
xx
=
:
*
2
021
y
6
h
)yy(
h
2
1
y
′′′
−−=
′
;
*
3
2102
y
3
h
)y3y4y(
h
2
1
y
′′′
++−=
′
.
Таким образом, используя значение функции в
)
1
n
(
+
-узлах, можно полу-
чить аппроксимацию производных
n
-ого порядка точности.
Эти формулы можно использовать не только для узлов ,...x,xx
10
=
, но и
для любых узлов ,...x,xx
1ii +
=
, изменяя значение индексов.
Причем для четных
n
наиболее простые выражения и наименьшие коэф-
фициенты в остаточных членах получаются для производных в средних (цен-
тральных) узлах (
1
y
′
при
2
h
=
,
2
y
′
при
4
h
=
и т. д.).
Выпишем аппроксимации производных для узла с произвольным номером
i
, считая его центральным:

Страницы