ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
91
*
2
1i1ii
y
6
h
)yy(
h
2
1
y
′′′
−−=
′
−+
;
n
= 2, (42)
V
*
4
2i1i1i2ii
y
30
h
)yy8y8y(
h
12
1
y +−+−=
′
++−−
;
n
= 4
Выражения (42) называются аппроксимациями производных с помо-
щью центральных разностей и широко применяются на практике.
Остаточный член многочлена Лагранжа:
)x(f
)!1n(
)xx)...(xx)(xx(
)x(R
*
)1n(
n10
L
+
⋅
+
−
−
−
=
,
где )x(f
*
)1n( +
– производная
)
1
n
(
+
порядка функции
)
x
(
f
в некоторой точке
*
xx
=
,
]x,x[x
n0*
∈
.
Если использовать многочлен Лагранжа для случая произвольно располо-
женных узлов, то придется вычислять громоздкие выражения. Поэтому здесь
удобнее применять метод неопределенных коэффициентов.
Сущность его заключается в следующем.
Искомое выражение для производной
k
-го порядка в некоторой точке
i
xx
=
представляют в виде линейной комбинации заданных значений функции
в узлах
0
x ,
1
x , … ,
n
x :
nn1100
)k(
i
yc...ycycy +++=
. (43)
При этом предполагают, что формула (43) имеет место для многочленов
1
y
=
,
i
xxy
−
=
,…,
n
i
)xx(y −=
.
Подставляя последовательно эти выражения в (40), получают систему
(
1
n
+
) линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных ко-
эффициентов
0
c ,
1
c , …,
n
c .
Пример 16. Найти выражение для производной
1
y
′
в случае четырех рав-
ноотстоящих узлов (
3
n
=
).
Равенство (43) запишем в виде:
332211001
ycycycycy
+
+
+
=
′
. (44)
Используем следующие многочлены:
1
y
=
;
0
xxy
−
=
;
2
0
)xx(y −= ;
3
0
)xx(y −= . (45)
Вычислим их производные:
0y
=
′
; 1y
=
′
; )xx(2y
0
−
=
′
;
2
0
)xx(3y −=
′
. (46)
Подставим последовательно соотношения (45) и (46) соответственно в пра-
вую и левую части равенства (44) при
1
xx
=
:
1c1c1c1c0
3210
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
