ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
93
Приравнивая правые части (47) и (48), находим выражение для главного
члена погрешности аппроксимации производной:
)h(0
1
k
)kh,x(f)h,x(f
)x(h
1p
p
pp
p +
+
−
−
=ϕ⋅
.
Подставляя найденное выражение в (47), получаем формулу Рунге:
)h(0
1
k
)kh,x(f)h,x(f
)h,x(f)x(F
1p
p
pp
pp +
+
−
−
+=
.
(49)
Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производ-
ной
)h,x(f
p
и )kh,x(f
p
(с шагом
h
и
kh
) с порядком точности
p
найти ее
уточненное значение с порядком точности
)
1
p
(
+
.
Пример 17. Вычислить производную функции
3
xy = в точке
1
x
=
анали-
тическим и численным методами и составить программу для реализации этих
расчетов.
2
x3y =
′
⇒
3)1(y
=
′
– точное значение производной.
Найдем теперь эту производную численно.
Составим таблицу значений функции:
x 0.8 0.9 1.0
y 0.512 0.729 1.0
Воспользуемся аппроксимацией производной с помощью левых разностей,
имеющих первый порядок
)
1
p
(
=
.
Примем шаг равным 0.1 и 0.2, т. е.
k
=2. Получим:
71.2
1
.
0
729.01
1
.
0
)9.0(y)1(y
)1.0,1(y)h,x(f =
−
=
−
=
′
=
′
;
44.2
2
.
0
512.01
2
.
0
)8.0(y)1(y
)2.0,1(y)kh,x(f =
−
=
−
=
′
=
′
.
По формуле Рунге найдем уточненное значение производной:
98.2
1
2
44.271.2
71.2)1(y)x(F
1
=
−
−
+≈
′
=
′
.
Таким образом, формула Рунге дает более точное значение производной.
В общем случае порядок точности аппроксимации увеличивается на единицу.
Составим программу для вычисления первой производной функции
3
xy =
в точке
x
= 1 аналитическим методом, с помощью конечных разностей и фор-
мулы Рунге.
Алгоритм программы представлен на рис. 6.3.
Program Runge;
Uses crt;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
