Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

92
)xx(c)xx(c)xx(c)xx(c1
033022011000
−
+
−
+
−
+
−
=
;
2
033
2
022
2
011
2
00001
)xx(c)xx(c)xx(c)xx(c)xx(2 −+−+−+−=−
;
3
033
3
022
3
011
3
000
2
01
)xx(c)xx(c)xx(c)xx(c)xx(3 −+−+−+−=−
.
Окончательно получим систему линейных уравнений в виде:
=++
=++
=++
=+++
.3hc27hc8hc
;2hc9hc4hc
;1hc3hc2hc
;0cccc
321
321
321
3210
Решая эту систему, получим
h
3
1
c
0
−= ;
h
2
1
c
1
−= ;
h
1
c
2
= ;
h
6
1
c
3
−=
.
Подставляя эти значения в равенство (41), находим выражение для иско-
мой производной:
)yy6y3y2(
h
6
1
y
32101
−+−−=
′
.
Если для аппроксимации производных использовать конечно-разностные
соотношения (интерполяционные формулы), то порядок их точности прямо
пропорционален числу узлов, используемых при аппроксимации. В тоже время
с увеличением числа узлов эти соотношения становятся более громоздкими, и
растет объем вычислений.
Однако существует простой и эффективный способ уточнения решения
при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-
разностных соотношениях. Это – метод Рунге-Ромберга.
Пусть
)x(F
p
– исходная производная, которая подлежит аппроксимации;
)h,x(f
p
– конечно-разностная аппроксимация этой производной на равномер-
ной сетке с шагом
h
;
R
– погрешность (остаточный член) аппроксимации,
главный член которой можно записать в виде
)x(h
p
ϕ⋅
, т. е.
)h(0)x(hR
1pp +
+ϕ⋅=
.
Тогда выражение для аппроксимации производной в общем случае можно
представить в виде:
)h(0)x(h)h,x(f)x(F
1pppp +
+ϕ⋅+=
. (47)
Запишем это соотношение в той же точке
x
при другом шаге khh
1
=
:
))kh((0)x()kh()kh,x(f)x(F
1pppp +
+ϕ⋅+=
. (48)

Страницы