ВУЗ:
4. РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
ЗАДАЧ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
4.1. Обработка экспериментальных данных
4.1.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяционная формула Лагранжа используется для произ-
вольно заданных узлов интерполирования.
Пусть в точках
x
0
, x
1
, …, x
n
таких, что a
≤
x
0
<…< x
n
≤
b, известны зна-
чения функции
y=f(x), т.е. на отрезке [a, b] задана табличная (сеточная)
функция
x x
0
x
1
… x
n
y y
0
y
1
… y
n
Требуется построить некоторую функцию P
n
(x) степени не выше n,
имеющую в заданных узлах
x
0
, x
1
, …, x
n
те же значения, что и функция
f(x). С этой целью представим P
n
(x) в следующем виде:
() ( )
()
(
)
(
)
(
)
01 1 1
... ...
ni i i i n
Px Cx x x x x x x x x x
−+
=− − − − −
где С
i
– некоторая константа, которая определяется из следующего
уравнения:
(
)
ni
Px y
i
=
.
В этом случае для многочлена:
))...()()...()((
1
1110 niiii
i
xxxxxxxxxx
C
−−−−−
=
+−
Подставляя выражение для константы
С
i
в исходную зависимость
полинома для каждого
i=0,1,2,…, n следующее значение многочлена:
))...()()...()((
))...()()...()((
)(
1110
1110
niiiiiii
nii
iin
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
yxP
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
,
Подставляя значение
P
n
(x) для всех точек от 0 до n, получим сле-
дующее выражение для многочлена Лагранжа:
i
n
i
niiiiii
nii
n
y
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xP
∑
=
+−
+−
−−−−
−
−
−
−
=
0
110
110
))...()()...((
))...()()...((
)(
Пример 4.1.1 Построить интерполяционный полином для функции
y=sin x.
Возьмем сетку, состоящую из трех точек:
x
0
=0; x
1
=
6
π
; x
2
=
2
π
, вы-
пишем соответствующие этим аргументам значения функции
sin x:
y
0
=0; y
1
=
2
1
; y
2
=1.
43
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
