ВУЗ:
Построим по этой таблице интерполяционный полином второй
степени, использую формулу Лагранжа:
2
2
2
3
2
7
32
)
6
(
1
)
3
(
6
)
2
(
2
1
)
2
)(
6
(
)
2
)(
6
(
0)( xx
xx
xx
xx
xP
π
π
ππ
π
ππ
π
ππ
π
π
−=
⋅
−
⋅+
−⋅
−
⋅+
−−
−−
⋅=
.
Проверяем, что в точках сетки этот полином принимает нужные
значения. Оценим погрешность интерполирования, сравнив значения
sin
x
и интерполяционного полинома в точке х=
4
π
.
,707107,0
2
1
4
sin ≈=
π
,6875,0
16
11
)
4
(
2
==
π
P
02,0019607,0)
4
(
4
sin
2
≈=−=
π
π
ε
P
.
Значительная величина погрешности определяется тем, что на от-
резке длиной
2
π
мы взяли грубую сетку, состоящую всего из трех точек.
Чтобы улучшить точность интерполирования, нужно либо увеличить
число точек n и повысить соответственно степень интерполяционного
полинома
P
n
(x), либо уменьшить длину исходного отрезка.
4.1.2. Интерполяционный многочлен Ньютона
Предположим дополнительно, что рассматриваемые значения ар-
гумента являются равноотстоящими, т. е. образуют арифметическую
прогрессию.
В этом случае шаг таблицы
h = х
i+1
- x
i
(i = 0, 1, 2, ..., n) = const яв-
ляется величиной постоянной. Для таких таблиц построение интерполя-
ционных формул (как впрочем, и вычисление по этим формулам) за-
метно упрощается.
Прежде чем перейти к рассмотрению этого вопроса, познакомимся
с понятием конечных разностей.
Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности
между значениями функции в соседних узлах интерполяции называют
конечными разностями первого порядка:
Δ y
i
= y
i+1
- y
i
(i = 0, 1, 2, ...).
Из конечных разностей первого порядка образуются конечные раз-
ности второго порядка:
Δ
2
y
i
= Δ y
i+1
- Δ y
i
(i = 0, 1, 2, ...)
44
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
