ВУЗ:
Задача решения уравнения заключается в нахождении таких значе-
ний
х, которые обращают его в тождество.
4.2.1. Метод деления отрезка пополам
Рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных
уравнений, которые часто используются при расчете химико-
технологических систем.
Пусть дано уравнение
f(x)=0. Допустим, нам удалось найти такой
отрезок [a,b], на котором расположено значение корня
x, т.е. а<x<b. В
качестве начального приближения корня
х
0
принимаем середину отрез-
ка
x
0
=(a+b)/2. Далее исследуем значения функции: если f(x
0
)=0, то х
0
является корнем уравнения, т.е.
x=x
0
. Если f(x
0
)≠0, то выбираем одну из
половин отрезка [a,x
0
] или [x
0
,b], на концах которой функция f(x) имеет
противоположные знаки, т.е. содержит искомый корень, поэтому его
принимаем в качестве нового отрезка [x
0
,b]. Вторую половину отрезка
на концах которого знак
f(x) не меняется, отбрасываем: в данном случае
[a,x
0
]. Отрезок [x
0
,b] вновь делим пополам. Новое приближение:
x
1
=(x
0
+b)/2. Вновь исследуем функцию f(x) на концах отрезка и отбра-
сываем отрезок [x
0
,x
1
] т.к. f(x
0
)>0 и f(x
1
)>0. Отрезок [x
1
,b],на концах ко-
торого функция имеет противоположные знаки f
(x
1
)<0, f(b)>0, вновь
делим пополам и получаем новое приближение корня
x
2
=(x
1
+b)/2. и т.д.
Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции
f(a) после n-й итерации не станет меньше некоторого заданного малого
числа (погрешности).
4.2.2. Метод простых итераций
Метод итераций представляет собой циклический процесс, очеред-
ное приближение которого есть корень с определенной точностью.
Исходя их найденного на предыдущем шаге значения
х
n-1
, вычисля-
ем
у = f(x
n-1
). Если |y-x
n-1
|> eps , то полагают х
n
=y и выполняют очеред-
ную итерацию. Если же
|y-x
n
|<=eps, то приближенные вычисления за-
канчивают и за решение принимают
x
n
=y.
Рассмотрим пример решения уравнения е
х
–10х = 0; eps = 0.001 на
отрезке [0;6].
Корни
х
1
и х
2
легко отделяются графически. Они являются абсцис-
сами точки пересечения графиков
e
x
с прямой y=10·x. Для определения
корня заменим исходное уравнение эквивалентным
x = 0.1 e
x
. На отрез-
ке [0;1]
f'(0)=0.1; f'(1)= 0.271; т.к. функция e
x
монотонная, то 0<f'(x)<1,
то есть q = 0.271. В качестве начального приближения выбираем
х
0
=1.
47
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
