Молекулярная и статистическая физика. Крутов А.В - 67 стр.

                                  67

  Политропы как аппроксимирующие кривые

      Графики политропических термодинамических процессов, называе-
мые политропами, составляют одно общее семейство параболических и
гиперболических кривых, уравнение которых могут быть записаны в виде
у = схm.
      Политропные кривые интересны своими применениями не только в
термодинамике, где они выступают в роли так называемых адиабат и изо-
терм, но и в других областях, в частности, в прикладной математике как
аппроксимирующие кривые.
      Приведем рассуждения математика о сущности и роли этих кривых.
Если изменение объема и давления газа происходит без потери и приобре-
тения тепла, то изменение называется адиабатическим. При адиабатиче-
ском изменении между объемом V и давлением р газа имеет место зависи-
мость pVα=c, полученная впервые Пуассоном, где с и α — некоторые по-
стоянные, причем α=сp/cV (сp/cV, как мы знаем, в термодинамике называет-
ся показателем адиабаты и обозначается через γ), где сp — теплоемкость
данного газа при постоянном давлении, а сV—теплоемкость газа при по-
стоянном объеме. Очевидно, α>1, так как при постоянном объеме теплота,
получаемая газом, целиком идет на повышение температуры, а при
постоянном давлении часть этого тепла тратится на преодоление давления
при расширении газа. Параметр с политропы определяется величинами на-
чального объема и начального давления. Кривые, соответствующие урав-
нению pVα = с, есть адиабаты. Из этого уравнения следует, что адиабаты
являются политропами гиперболического типа.
      При изотермическом изменении состояния газа соотношение между
его объемом V и давлением p определяется формулой Vp=c. Соответст-
вующая изотерма будет равносторонней гиперболой.
      Политропные кривые имеют важное значение в прикладной матема-
тике в качестве интерполяционных кривых. Суть дела здесь такова: из
уравнения политроп следует что lny—тlnх—lnc=0; полагая lnx=ξ, lnу=η,
lnс =с1, получим η−mξ—с1=0. Это уравнение в системе ξOη выражает
прямую. Таким образом, если в системе координат ξOη нанести точки, ко-
ординатами которых являются логарифмы координат х, у точек, принадле-
жащих политропе, то точки эти будут лежать на прямой, угловой коэффи-
циент которой равен показателю т при х в уравнении политропы. Этим