Основы Matlab. Крыжановская Ю.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
, матрица С
симметрична.
На практике целесообразно решать обратную задачу . Выбирают какую-либо
положительно определенную положительную матрицу, например C = I. Тогда
можно получить Q . Если квадратичная форма Q оказывается неопределенной
(знакопеременной ), то по теореме Ляпунова о неустойчивости начало
координат неустойчиво. Если Q положительно определена, то поскольку
система линейна и стационарна, начало координат асимптотически устойчиво в
целом. Обоснованность такого анализа зависит от того, определяет ли
уравнение (*) однозначно матрицу Q , если задана симметричная и
положительная С .
Справедливы следующие утверждения:
Если n собственных значений λ
1
, … , λ
n
матрицы A таковы , что λ
i
+ λ
j
<0
( ), то из уравнения (*) при заданной матрице С матрица Q определяется
однозначно . (Достаточное условие устойчивости матрицы А ).
Если матрица А устойчива и матрица С положительно определена, то матрица
Q также положительно определена. (Необходимое условие устойчивости
матрицы А ).
Система асимптотически устойчива в том и только том случае, если решение Г,
являющееся (n×n)-матрицей , уравнения Ляпунова
является положительно- определенной матрицей . Здесь H – произвольная
положительно- определенная симметричная матрица. Для определенности
матрицу H можно положить единичной .
Для установления положительной определенности симметричной матрицы Г
можно воспользоваться критерием Сильвестра: ∆
i
> 0 для , где ∆
i
–
миноры i - го порядка матрицы Г . Для определения асимптотической
устойчивости линейных систем можно воспользоваться критерием Раусса-
Гурвица. Согласно этому критерию, система является устойчивой , если все
миноры матрицы Гурвица были положительны . Асимптотическая устойчивость
определяется аналогично, только вместо матрицы A берется матрица A + BL.
Пример 11.
Пусть задана система управления, описываемая конечно- разностными
уравнениями в пространстве состояний
x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k), ( ), и известна
матрица , определяющая закон управления u = Kx,.
1. Зададим матрицы , определяющие систему:
>> A=[1 2; -3 4]
A =
1 2
-3 4
>> B= [1 2]'
B = 
                                                     30

                                                               ,       матри ца     С
си мметри чна.
Н а практи ке целесообразно реш атьобратную зад ачу. В ы би рают какую-ли бо
полож и тельно опред еленную полож и тельную матри цу, напри мер C = I. Т огд а
мож но получи тьQ. Е сли квад рати чная ф орма Q оказы вается неопред еленной
(знакопеременной), то по теореме Л я пунова о неустойчи вости начало
коорд и нат неустойчи во. Е сли Q полож и тельно опред елена, то поскольку
си стемали нейнаи стаци онарна, начало коорд и натаси мптоти чески устойчи во в
целом. О боснованность такого анали за зави си т от того, опред еля ет ли
уравнени е (*) од нозначно матри цу Q, если зад ана си мметри чная и
полож и тельная С .
Справед ли вы след ующ и еутверж д ени я :
Е сли n собственны х значени й λ1, … , λn матри цы A таковы , что λi+λj <0
(        ), то и з уравнени я (*) при зад анной матри цеС матри цаQ опред еля ется
од нозначно. (Д остаточноеуслови еустойчи вости матри цы А ).
Е сли матри ца А устойчи ва и матри ца С полож и тельно опред елена, то матри ца
Q такж е полож и тельно опред елена. (Н еобход и мое услови е устойчи вости
матри цы А ).
Си стемааси мптоти чески устойчи вав том и только том случае, если реш ени еГ,
я вля ющ ееся (n×n)-матри цей, уравнени я Л я пунова
я вля ется полож и тельно-опред еленной матри цей. Зд есь H – прои звольная
полож и тельно-опред еленная си мметри чная матри ца. Д ля опред еленности
матри цу H мож но полож и тьед и ни чной.
Д ля установлени я полож и тельной опред еленности си мметри чной матри цы Г
мож но воспользоваться кри тери ем Си львестра: ∆i > 0 д ля          , гд е ∆i –
ми норы i-го поря д ка матри цы Г. Д ля опред елени я аси мптоти ческой
устойчи вости ли нейны х си стем мож но воспользоваться кри тери ем Раусса-
Гурви ца. Согласно этому кри тери ю, си стема я вля ется устойчи вой, если все
ми норы матри цы Гурви цабы ли полож и тельны . А си мптоти ческая устойчи вость
опред еля ется аналоги чно, только вместо матри цы A берется матри цаA+BL.
При мер11.
Пусть зад ана си стема управлени я , опи сы ваемая конечно-разностны ми
уравнени я ми в пространствесостоя ни й

x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k), (                         ),                и и звестна

матри ца                , опред еля ющ ая закон управлени я u = Kx,.
1. Зад ад и м матри цы , опред еля ющ и еси стему:
>> A=[1 2; -3 4]
A=
      1     2
    -3       4
>> B= [1 2]'
B=

Страницы