Молекулярная физика. Часть 1. Колебания и волны. Кукуев В.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
Рис. 1. Система двух связанных маятников
Так как между маятниками существует связь (пружина), то колеба-
ния каждого из маятников влияют на колебания другого. Характерной осо-
бенностью связанных систем является обмен энергией между частями сис-
темы, также обусловленный наличием связи.
Определим закон движения системы двух маятников, считая их ма-
тематическими. Оба маятника совершают вращательное движение относи-
тельно горизонтальных осей, проходящих через точки подвеса. Составим
сначала уравнение движения 1-го маятника:
111
MJ
=
e
,
где J
1
= ml² – момент инерции маятника,
11
j
e
&
&
=
– его угловое ускорение,
M
1
– суммарный момент внешних сил.
Определим величину M
1
.
Момент силы тяжести равен, очевидно,
–mglsinφ
1
или при малых углах отклонения –mglφ
1
. Кроме того, при де-
формации пружины возникает упругая сила, пропорциональная величине
деформации. Деформация в произвольный момент времени равна hφ
1
–hφ
2
=
= h(φ
1
– φ
2
). Следовательно, упругая сила, действующая на первый маят-
ник, может быть написана как –ch(φ
1
– φ
2
), а момент этой силы равен
–ch
2
(φ
1
– φ
2
). Тогда уравнение движения первого маятника запишется сле-
дующим образом:
)(
21
2
11
2
jjjj
---= chmglml
&
&
. (1)
Рассуждая аналогично, приходим к уравнению движения второго
маятника:
)(
12
2
22
2
jjjj
---= chmglml
&
&
. (2)
Систему уравнений (1) и (2) проще всего решить, складывая их ле-
вые их правые части, а затем вычитая. Тогда получим:
2
1212
22
121212
()(),
()()2();
mlmgl
mlmglch
ffff
ffffff
ìü
+=-+
ïï
ïï
íý
ïï
-=----
ïï
îþ
&&&&
&&&&
                   Рис. 1. Система двух связанных маятников
      Так как между маятниками существует связь (пружина), то колеба-
ния каждого из маятников влияют на колебания другого. Характерной осо-
бенностью связанных систем является обмен энергией между частями сис-
темы, также обусловленный наличием связи.
      Определим закон движения системы двух маятников, считая их ма-
тематическими. Оба маятника совершают вращательное движение относи-
тельно горизонтальных осей, проходящих через точки подвеса. Составим
сначала уравнение движения 1-го маятника:
                                                   J 1� 1 � M 1 ,
где J1 = ml² – момент инерции маятника, � 1 � ���1 – его угловое ускорение,
M1 – суммарный момент внешних сил.
      Определим величину M1. Момент силы тяжести равен, очевидно,
–mglsinφ1 или при малых углах отклонения –mglφ1. Кроме того, при де-
формации пружины возникает упругая сила, пропорциональная величине
деформации. Деформация в произвольный момент времени равна hφ1–hφ2 =
= h(φ1 – φ2). Следовательно, упругая сила, действующая на первый маят-
ник, может быть написана как –ch(φ1 – φ2), а момент этой силы равен
–ch2(φ1 – φ2). Тогда уравнение движения первого маятника запишется сле-
дующим образом:
                                   ml 2���1 � �mgl�1 � ch 2 (�1 � � 2 ) .  (1)
      Рассуждая аналогично, приходим к уравнению движения второго
маятника:
                                   ml 2���2 � �mgl� 2 � ch 2 (� 2 � �1 ) . (2)
      Систему уравнений (1) и (2) проще всего решить, складывая их ле-
вые их правые части, а затем вычитая. Тогда получим:
        �                                                           �
       �� ml 2 (���1 � ���2 ) � � mgl (�1 � � 2 ),                  ��
        � 2                                                          �
        �        �� ��                                               �
      �� ml (�1 � � 2 ) � � mgl (�1 � � 2 ) � 2ch (�1 � � 2 ); ��
                                                       2




                                     18

Страницы