Молекулярная физика. Часть 1. Колебания и волны. Кукуев В.И - 20 стр.

      Частоты ω1 и ω2, согласно формулам (5), определяются только собст-
венными параметрами системы (m, l, c, h) и не зависят от начальных усло-
вий. В соответствии с этим фактом они называются собственными часто-
тами системы. Число собственных частот всегда совпадает с числом степе-
ней свободы системы.
      Из соотношений (8) следует, что в общем случае движение каждого
маятника не является гармоническим, а представляет собой суперпозицию
двух гармонических колебаний с различными частотами. Только в двух
частных случаях удается путем специального подбора начальных условий
получить чисто гармонические колебания.
      1. В начальный момент оба маятника отклонены в одну сторону на
один и тот же угол. Каждый маятник, очевидно, колеблется по гармониче-
скому закону с частотой ω1, причем колебания происходят в одной и той
же фазе. Пружина не деформируется и никакого влияния на движение не
оказывает.
      2. Первоначально маятники отклонены на одинаковые углы, но в раз-
ные стороны. Пружина деформируется, однако из симметрии системы и
начальных условий ясно, что средняя точка пружины остается неподвиж-
ной. Поэтому колебания каждого маятника не влияют на движение друго-
го, и закон движения снова является гармоническим с частотой ω2. Коле-
бания маятников в этом случае противоположны по фазе.
      Таким образом, в двух рассмотренных выше случаях (и только в
них) колебания гармоничны. Они носят название нормальных колебаний.
Частота каждого из нормальных колебаний совпадает с одной из собствен-
ных частот. По этой причине собственные частоты иногда называют нор-
мальными частотами. Заметим, что в обоих случаях передача энергии че-
рез пружину от одного маятника к другому отсутствует.
      Вернемся к закону движения (10). Интересную картину колебаний
можно наблюдать, если собственные частоты мало отличаются друг от
друга: ω1 ≈ ω2 ≡ ω (это случай слабой связи, когда малыми являются или
жесткость с пружины, или отношение h/l). По известным формулам триго-
нометрии уравнения (10) можно переписать следующим образом:
                                   � � �1        � � �1
                         �1 � � cos 2     t � cos 2     t ,
                                      2              2
                                   � � �1        � � �1
                        � 2 � � sin 2     t � sin 2     t .
                                      2             2
      При этом величина ε = (ω1 – ω2)/2 является малой, а полусумма
(ω1 + ω2)/2 равна ω. Имея это в виду, напишем
                                � 1 � � cos � t � cos � t ,
                                � 2 � � sin � t � sin � t ,           (11)
причем ε « ω, так что cos εt и sin εt меняются во времени значительно мед-
леннее, чем cos ωt и sin ωt. Следовательно, углы φ1 и φ2 изменяются по

                                    20