Дискретная математика. Кулабухов С.Ю. - 108 стр.

gLAWA   VI.   aLGEBRA PRELIKATOW

NA L@BOM MNOVESTWE ^ISEL, SODERVA]EM 1. tAKIM OBRAZOM, WSQKOE ^ISLOWOE MNOVESTWO, SODERVA-
]EE 1, QWLQETSQ DOPUSTIMYM DLQ DANNOJ FORMULY a. oDNAKO WSQKOE MNOVESTWO MATRIC, NAPRIMER,
UVE NE QWLQETSQ DLQ a DOPUSTIMYM.
   oTMETIM, ^TO ESLI W ZAPISI FORMULY a NE U^ASTWU@T KONKRETNYE PREDMETY KAKIH-TO MNO-
VESTW I KONKRETNYE PREDIKATY, TO WSQKOE MNOVESTWO QWLQETSQ DOPUSTIMYM DLQ \TOJ FORMULY a.
   pUSTX a | NEKOTORAQ FORMULA, M | NEKOTOROE MNOVESTWO, DOPUSTIMOE DLQ a. sOPOSTAWIM
KAVDOMU PEREMENNOMU PREDIKATU, WHODQ]EMU W ZAPISX FORMULY a, NEKOTORYJ KONKRETNYJ PREDI-
KAT NA MNOVESTWE a OT TEH VE PREDMETNYH PEREMENNYH. pOLU^ENNAQ FORMULA a0 UVE NE SODERVIT
PREDIKATNYH PEREMENNYH, A LIX, BYTX MOVET, PREDMETNYE PEREMENNYE. fORMULA a0 NAZYWAETSQ
INTERPRETACIEJ FORMULY a NA MNOVESTWE M, KOTOROE NAZYWAETSQ OBLASTX@ INTERPRETACII.
   oTMETIM, ^TO ESLI INTERPRETACIQ a0 FORMULY a NE SODERVIT SWOBODNYH PREDMETNYH PERE-
MENNYH, TO a0 PREDSTAWLQET SOBOJ KAKOE-TO KONKRETNOE WYSKAZYWANIE OB \LEMENTAH MNOVESTWA a,
ISTINNOE ILI LOVNOE. eSLI VE a0 SODERVIT SWOBODNYE PREDMETNYE PEREMENNYE, TO a0 PREDSTAW-
LQET SOBOJ NEKOTORYJ PREDIKAT, ZADANNYJ NA OBLASTI INTERPRETACII M.
pRIMER 2. rASSMOTRIM FORMULU
                                     a = 8x (P(x
 y) _ Q(x
 y)):
o^EWIDNO, ^TO L@BOE MNOVESTWO QWLQETSQ DOPUSTIMYM DLQ a, TAK KAK a NE SODERVIT W SWOEJ
ZAPISI KONKRETNYH PREDMETOW I KONKRETNYH PREDIKATOW.
   1. pUSTX N | MNOVESTWO WSEH NATURALXNYH ^ISEL, P(x
 y) = \x ... y", Q(x
 y) = \x < y". tOGDA
INTERPRETACIQ a0 PRIMET WID
                                                  .
                                     a0 = 8x ((x .. y) _ (x < y)):
o^EWIDNO, ^TO a0 = a0(y) PREDSTAWLQET SOBOJ ODNOMESTNYJ PREDIKAT OT PEREMENNOJ y, KOTORAQ
QWLQETSQ SWOBODNOJ W a0. pEREMENNAQ x QWLQETSQ SWQZANNOJ PREDMETNOJ PEREMENNOJ. oTMETIM,
^TO a0(1) = 8x ((x ... 1) _ (x < 1)) | ISTINNOE WYSKAZYWANIE. s DRUGOJ STORONY a0(2) = 8x ((x ... 2) _
_(x < 2)) | LOVNOE WYSKAZYWANIE.
   2. pRIWEDEM E]E ODNU INTERPRETACI@ FORMULY a. pUSTX M | MNOVESTWO U^A]IHSQ NEKOTOROJ
KOLY, P(x
 y) = \x I y U^ATSQ W ODNOM KLASSE", Q(x
 y) = \x I y POSE]A@T ODNU I TU VE
SPORTIWNU@ SEKCI@". tOGDA INTERPRETACIQ a0 PRIMET WID:
                a0 = 8x (x I y W ODNOM KLASSE ILI x I y POSE]A@T OB]U@ SEKCI@):
lEGKO PONQTX, ^TO ESLI RASSMATRIWAEMAQ KOLA DOSTATO^NO WELIKA, TO INTERPRETACIQ a0 = a0 (y)
LOVNA DLQ L@BOGO ZNA^ENIQ y, TAK KAK, PO-WIDIMOMU, DLQ L@BOGO U^ENIKA x NAJDETSQ TAKOJ
U^ENIK y, ^TO x I y W RAZNYH KLASSAH I OB]EJ SEKCII NE POSE]A@T.
   2.3. kLASSIFIKACIQ FORMUL. mODELI. pUSTX a | NEKOTORAQ FORMULA, A a0 | EE IN-
TERPRETACIQ NA NEKOTOROM MNOVESTWE M. (oTMETIM, ^TO WOOB]E GOWORQ, NA ODNOM I TOM VE MNO-
VESTWE MOVET SU]ESTWOWATX BOLEE ODNOJ INTERPRETACII. bOLEE TOGO, KAK PRAWILO, IH SU]ESTWUET
DOSTATO^NO MNOGO.) tAK KAK a0 ESTX NEKOTORYJ PREDIKAT NA M, TO DLQ a0 OPREDELENY WSE TE PO-
NQTIQ, KOTORYE OPREDELENY DLQ PREDIKATOW, W ^ASTNOSTI PONQTIE LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI, SM.
P. VI.1.3.
   fORMULA a NAZYWAETSQ WYPOLNIMOJ W DANNOJ INTERPRETACII a0 , ESLI DLQ a0 SU]ESTWUET HO-
TQ BY ODNA LOGI^ESKAQ WOZMOVNOSTX NA M, W KOTOROJ a0 = 1. w PROTIWNOM SLU^AE FORMULA a
NAZYWAETSQ LOVNOJ ILI NEWYPOLNIMOJ W DANNOJ INTERPRETACII.
   fORMULA a NAZYWAETSQ WYPOLNIMOJ, ESLI ONA WYPOLNIMA HOTQ BY W ODNOJ INTERPRETACII. w
PROTIWNOM SLU^AE FORMULA a NAZYWAETSQ LOVNOJ ILI PROTIWORE^IEM.
   fORMULA a NAZYWAETSQ ISTINNOJ W DANNOJ INTERPRETACII a0 , ESLI ONA ISTINNA W L@BOJ
LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI NA M.
   fORMULA a NAZYWAETSQ OB]EZNA^IMOJ , ESLI L@BOE MNOVESTWO QWLQETSQ DOPUSTIMYM DLQ a I a
ISTINNA W L@BOJ INTERPRETACII.
                                                 108